Question

關(guān)于x的方程|x+

1

x

|-|x-

1

x

|-kx-1=0有五個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：計(jì)算題,作圖題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：關(guān)于x的方程|x+

1

x

|-|x-

1

x

|-kx-1=0有五個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根可化為函數(shù)y=|x+

1

x

|-|x-

1

x

|-1與y=kx有5個(gè)不同的交點(diǎn)，作函數(shù)圖象并求臨界值，結(jié)合圖象寫(xiě)出答案．

解答： 解：關(guān)于x的方程|x+

1

x

|-|x-

1

x

|-kx-1=0有五個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根
可化為函數(shù)y=|x+

1

x

|-|x-

1

x

|-1與y=kx有5個(gè)不同的交點(diǎn)，
作函數(shù)y=|x+

1

x

|-|x-

1

x

|-1與y=kx的圖象如下，

當(dāng)x＞1時(shí)，y=|x+

1

x

|-|x-

1

x

|-1=

2

x

-1；
設(shè)相切時(shí)切點(diǎn)為（m，

2

m

-1）；
y′=-2

1

m2

，則-2

1

m2

=

2 m -1

m

，
解得，m=4；
故k=-2×

1

42

=-

1

8

；
故結(jié)合圖象知，k的取值范圍為（-

1

8

，0）∪（0，

1

8

）；
故答案為：（-

1

8

，0）∪（0，

1

8

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的圖象與方程的根的聯(lián)系及導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．