Question

20．已知等差數列{a_n}的前n項和為S_n，a₄=4，S₃=6．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設${b_n}=\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}（n∈{N^*}）$，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）設等差數列{a_n}的公差為d，利用等差數列的通項公式與求和公式即可得出．
（2）b_n=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，再利用“裂項求和方法”即可得出．

解答 解：（1）設等差數列{a_n}的公差為d，
∵a₄=4，S₃=6．∴a₁+3d=4，3a₁+$\frac{3×2}{2}$d=6，
解得a₁=d=1，
∴a_n=1+（n-1）=n．
（2）b_n=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴數列{b_n}的前n項和T_n=$（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

點評 本題考查了等差數列的通項公式與求和公式、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．