Question

如圖，已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

2

2

，過右焦點F且與x軸垂直的直線交橢圓于A，B兩點，且|AB|=

2

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx+t（t≠0）與橢圓C相交于M，N兩點，直線AO平分線段MN，求△OMN的面積的最大值及此時直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由橢圓的離心率e=

2

2

，過右焦點F且與x軸垂直的直線交橢圓于A，B兩點，且|AB|=

2

，建立方程，求出a，b，即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）直線l與橢圓聯(lián)立，利用線段AB中點在直線y=

2

2

x上求得k的值，求出|MN|，及點O到直線MN的距離，表示出三角形的面積，利用基本不等式，即可確定△FAB的面積的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由題意，

c

a

=

2

2

，

2b2

a

=

2

．
∴a=

2

，b=1
∴橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（1，

2

2

），∴直線AO的方程為y=

2

2

x．
y=kx+t（t≠0）代入橢圓C的方程，消去y得（1+2k²）x²+4ktx+2t²-2=0
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），中點P（x₀，y₀），由韋達定理得x₀=-

2kt

1+2k2

，y₀=

t

1+2k2

．
由點P在直線y=

2

2

x上，得k=-

2

2

．                          
∴x₁+x₂=-

2

t，x₁x₂=t²-1，
|MN|=

1+ 1 2

•|x₁-x₂|=

6-3t2

又點O到直線MN的距離d=

|t|

3 2

．
∴△OMN的面積為

2

2

•

t2(2-t2)

≤

2

2

•

t2+2-t2

2

=

2

2

，
∴當(dāng)t=±1時，△OMN的面積取最大值

2

2

，直線l的方程為y=-

2

2

x±1．

點評：本題考查橢圓的標(biāo)準方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計算，考查利用基本不等式求函數(shù)的最值，屬于中檔題．