Question

1．已知直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=a+tsinα}\\{y=b+tcosα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）
（1）當(dāng)α=$\frac{π}{3}$時，求直線l的斜率；
（2）若P（a，b）是圓O：x²+y²=4內(nèi)部一點(diǎn)，l與圓O交于A、B兩點(diǎn)，且|PA|，|OP|，|PB|成等比數(shù)列，求動點(diǎn)P的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直線的斜率k=$\frac{cosα}{sinα}$，α=$\frac{π}{3}$時，可求出直線l的斜率；
（2）利用參數(shù)的幾何意義求解，設(shè)A，B兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為t_A，t_B，把直線l的方程代入圓O的方程中，在根據(jù)且|PA|，|OP|，|PB|成等比數(shù)列，可得動點(diǎn)P的軌跡方程．

解答 解：（1）當(dāng)α=$\frac{π}{3}$時，直線l的斜率k=$\frac{cosα}{sinα}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（2）由題意，設(shè)A，B兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為t_A，t_B，
把直線l的方程代入圓O的方程中，（a+tsinα）²+（b+tcosα）²=4
整理得：t²+（2asinα+2bcosα）t+a²+b²-4=0．
∴t_A•t_B=a²+b²-4=-|PA|•|PB|
又∵|PA|，|OP|，|PB|成等比數(shù)列，
∴||OP|²=|PB|•|PA|
∴-（a²+b²-4）=a²+b²即a²+b²=2
∴動點(diǎn)P的軌跡方程為x²+y²=2．

點(diǎn)評 本題考查了直線參數(shù)方程的幾何意義，屬于中檔題