Question

11．己知圖1中，四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，EF∥CD，O、Q分別為線段AB，CD的中點(diǎn)，OQ與EF的交點(diǎn)為P，OP=1，PQ=2，現(xiàn)將梯形ABCD沿EF折起，使得OQ=$\sqrt{3}$，連結(jié)AD，BC，得一幾何體如圖2示．

（I）證明：平面ABCD⊥平面ABFE；
（II）若圖1中．∠A=45°，CD=2，求平面ADE與平面BCF所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出OP⊥EF、PQ⊥EF，OQ⊥OP，從而EF⊥平面OPQ，進(jìn)而EF⊥OQ，OQ⊥平面ABFE，由此能證明平面ABCD⊥平面ABFE．
（Ⅱ）以O(shè)為原點(diǎn)，PO所在的直線為x軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，利用向量法能求出平面ADE與平面BCF所成銳二面角的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）在圖3中，四邊形ABCD為等腰梯形，
O、Q分別為線段AB、CD的中點(diǎn)，
∴OQ為等腰梯形ABCD的對(duì)稱軸，
又AB∥EF∥CD，∴OP⊥EF、PQ⊥EF，①（2分）
在圖4中，∵OQ²+OP²=PQ²，
∴OQ⊥OP，（3分）
由①及OP∩PQ=P，得EF⊥平面OPQ，∴EF⊥OQ，（4分）
又OP∩EF=P，∴OQ⊥平面ABFE，（5分）
又OQ?平面ABCD，
∴平面ABCD⊥平面ABFE．（6分）
解：（Ⅱ）在圖4中，由∠A=45°，CD=2，解得PE=PF=3，AO=OB=4，（7分）
以O(shè)為原點(diǎn)，PO所在的直線為x軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，如圖所示，
則B（0，4，0）、F（-1，3，0）、C（0，1，$\sqrt{3}$ ），
∴$\overrightarrow{BF}$=（-1，-1，0），$\overrightarrow{BC}$=（0，-3，$\sqrt{3}$），（8分）
設(shè)$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）是平面BCF的一個(gè)法向量，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BF}=-x-y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=-3y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取z=3，得$\overrightarrow{m}$=（-$\sqrt{3}，\sqrt{3}$，3），（9分）
同理可得平面ADE的一個(gè)法向量$\overrightarrow{n}$=（-$\sqrt{3}，-\sqrt{3}，3$），（10分）
設(shè)所求銳二面角的平面角為θ，
則cosθ=|cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{9}{\sqrt{15}•\sqrt{15}}$=$\frac{3}{5}$，
所以平面ADE與平面BCF所成銳二面角的余弦值為$\frac{3}{5}$．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查面面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．