Question

已知函數(shù)f(x)=alnx-(1+a)x+

1

2

x2，a∈R
（1）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）已知f（x）≥0對定義域內(nèi)的任意x恒成立，求實(shí)數(shù)a的范圍．

Answer 1

（1）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
f′(x)=

a

x

+x-(1+a)=

x2-(1+a)x+a

x

=

(x-1)(x-a)

x

，
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f′（x）、f（x）的變化情況如下表：

x	（0，a）	a	（a，1）	1	（1，+∝）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，a），（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（a，1）；
（2）由于f(1)=-

1

2

-a，顯然a＞0時(shí)，f（1）＜0，此時(shí)f（x）≥0對定義域內(nèi)的任意x不是恒成立的；
當(dāng)a≤0時(shí)，易得函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）的極小值、也是最小值即是f(1)=-

1

2

-a，此時(shí)只要f（1）≥0即可，解得a≤-

1

2

，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-

1

2

）．