如圖，點(diǎn)P（0，-1）是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，C1的長(zhǎng)軸是圓的直徑．l1，l2是過(guò)點(diǎn)P且互相垂直的兩條直線，其中l(wèi)1交圓C2于兩點(diǎn)，l2交橢圓C1于另一點(diǎn)D
（1）求橢圓C1的方程；
（2）求△ABD面積取最大值時(shí)直線l1的方程．

【答案】分析：（1）由題意可得b=1，2a=4，即可得到橢圓的方程；
（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），D（x，y）．由題意可知：直線l1的斜率存在，設(shè)為k，則直線l1的方程為y=kx-1．利用點(diǎn)到直線的距離公式和弦長(zhǎng)公式即可得出圓心O到直線l1的距離和弦長(zhǎng)|AB|，又l2⊥l1，可得直線l2的方程為x+kx+k=0，與橢圓的方程聯(lián)立即可得到點(diǎn)D的橫坐標(biāo)，即可得出|PD|，即可得到三角形ABD的面積，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出其最大值，即得到k的值．
解答：解：（1）由題意可得b=1，2a=4，即a=2．
∴橢圓C1的方程為；
（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），D（x，y）．
由題意可知：直線l1的斜率存在，設(shè)為k，則直線l1的方程為y=kx-1．
又圓的圓心O（0，0）到直線l1的距離d=．
∴|AB|==．
又l2⊥l1，故直線l2的方程為x+ky+k=0，聯(lián)立，消去y得到（4+k2）x2+8kx=0，解得，
∴．
∴三角形ABD的面積．
∴=，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
故所求直線l1的方程為．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的幾何性質(zhì)、直線與圓及橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查了推理能力和計(jì)算能力及分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，點(diǎn)P在橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上，F(xiàn)1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作橢圓右準(zhǔn)線的垂線，垂足為M，若四邊形PF1F2M為菱形，則橢圓的離心率是（　�。�
A、
2
2
B、
3
2
C、
3
-1
2
D、
5
-1
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，點(diǎn)P是單位圓在第一象限上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)A（-1，0），點(diǎn)B（0，-1），PA與y軸于點(diǎn)N，PB與x軸交于點(diǎn)M，設(shè)
PO
=x
PM
+y
PN
，（x，y∈R），P（cosθ，sinθ）．
（1）求點(diǎn)M、點(diǎn)N的坐標(biāo)（用θ表示）；
（2）求x+y的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（理科做）如圖，點(diǎn)P為橢圓
x2
9
+
y2
5
=1上的動(dòng)點(diǎn)，A為橢圓左頂點(diǎn)，F(xiàn)為右焦點(diǎn)．
（1）若∠AFP=60°，求PF所在直線被橢圓所截得的弦長(zhǎng)|PQ|；
（2）若點(diǎn)M在線段PF上，且滿足
FM
+
1
2
PM
=
0
，求點(diǎn)M的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•浙江）如圖，點(diǎn)P（0，-1）是橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一個(gè)頂點(diǎn)，C1的長(zhǎng)軸是圓C2：x2+y2=4的直徑．l1，l2是過(guò)點(diǎn)P且互相垂直的兩條直線，其中l(wèi)1交圓C2于兩點(diǎn)，l2交橢圓C1于另一點(diǎn)D
（1）求橢圓C1的方程；
（2）求△ABD面積取最大值時(shí)直線l1的方程．

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