Question

（2013•浙江）如圖，點(diǎn)P（0，-1）是橢圓C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一個(gè)頂點(diǎn)，C₁的長(zhǎng)軸是圓C2：x2+y2=4的直徑．l₁，l₂是過點(diǎn)P且互相垂直的兩條直線，其中l(wèi)₁交圓C₂于兩點(diǎn)，l₂交橢圓C₁于另一點(diǎn)D
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）求△ABD面積取最大值時(shí)直線l₁的方程．

Answer 1

分析：（1）由題意可得b=1，2a=4，即可得到橢圓的方程；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x₀，y₀）．由題意可知：直線l₁的斜率存在，設(shè)為k，則直線l₁的方程為y=kx-1．利用點(diǎn)到直線的距離公式和弦長(zhǎng)公式即可得出圓心O到直線l₁的距離和弦長(zhǎng)|AB|，又l₂⊥l₁，可得直線l₂的方程為x+kx+k=0，與橢圓的方程聯(lián)立即可得到點(diǎn)D的橫坐標(biāo)，即可得出|PD|，即可得到三角形ABD的面積，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出其最大值，即得到k的值．

解答：解：（1）由題意可得b=1，2a=4，即a=2．
∴橢圓C₁的方程為

x2

4

+y2=1；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x₀，y₀）．
由題意可知：直線l₁的斜率存在，設(shè)為k，則直線l₁的方程為y=kx-1．
又圓C2：x2+y2=4的圓心O（0，0）到直線l₁的距離d=

1

k2+1

．
∴|AB|=2

4-d2

=2

4k2+3 k2+1

．
又l₂⊥l₁，故直線l₂的方程為x+ky+k=0，聯(lián)立

x+ky+k=0 x2+4y2=4

，消去y得到（4+k²）x²+8kx=0，解得x0=-

8k

4+k2

，
∴|PD|=

8 k2+1

4+k2

．
∴三角形ABD的面積S△=

1

2

|AB|•|PD|=

8 4k2+3

4+k2

．
∴S=

32

4k2+3 + 13 4k2+3

≤

32

2 4k2+3 • 13 4k2+3

=

16 13

13

，當(dāng)且僅當(dāng)k=±

10

2

時(shí)取等號(hào)，
故所求直線l₁的方程為y=±

10

2

x-1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的幾何性質(zhì)、直線與圓及橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查了推理能力和計(jì)算能力及分析問題和解決問題的能力．