Question

橢圓C₁的中心在原點，過點（0，

3

），且右焦點F₂與圓C₂：（x-1）²+y²=

1

4

的圓心重合．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）過點F₂的直線l交橢圓于M、N兩點，問是否存在這樣的直線l，使得以MN為直徑的圓過橢圓的左焦點F₁？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓和圓的標準方程及其性質即可得出；
（2）以MN為直徑的圓過F₁?

F1M

•

F1N

=0．分類討論直線l的斜率，當斜率存在時，把直線l的方程與橢圓的方程聯立得到根與系數的關系，利用向量的數量積運算即可得出．

解答：解：（1）依題意得F₂（1，0），∴c=1，又過點(0，

3

)，∴b=

3

．
因此a²=b²+c²=4．
故所求的橢圓C₁ 的方程為：

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）由（1）知F₁（-1，0）．以MN為直徑的圓過F₁?

F1M

•

F1N

=0．
①若直線l的斜率不存在．易知N （1，

3

2

），M （1，-

3

2

）．

F1N

•

F1M

=(2，

3

2

)•(2，-

3

2

)=4-

9

4

≠0，不合題意，應舍去．
②若直線l的斜率k存在，可設直線為y=k（x-1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．

F1M

•

F1N

=（x₁+1，y₁）•（x₂+1，y₂）=（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂
=x₁x₂+x₁+x₂+k（x₁-1）•k（x₂-1）
=（1+k²）x₁x₂+（1-k²）（x₁+x₂）+1+k²（*）
聯立

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x-1)

 消去y得：（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0．
∴x1+x2=

8k2

3+4k2

，x1x2=

4k2-12

3+4k2

 代入（*）．
得：

F1M

•

F1N

=

7k2-9

3+4k2

．
由

F1M

•

F1N

=0得：k=±

3 7

7

．
∴直線l的方程為y=±

3 7

7

(x-1)．

點評：熟練掌握橢圓和圓的標準方程及其性質、MN為直徑的圓過F₁?

F1M

•

F1N

=0、分類討論思想方法、直線與橢圓相交問題轉化為把直線l的方程與橢圓的方程聯立得到根與系數的關系、向量的數量積運算等是解題的關鍵．