Question

8．某醫(yī)學(xué)院讀書協(xié)會欲研究晝夜溫差大小與患感冒人數(shù)多少之間的關(guān)系，該協(xié)會分別到氣象局與某醫(yī)院抄錄了1至6月份每月10號的晝夜溫差情況與因患感冒而就診的人數(shù)，得到如圖頻數(shù)分布直方圖：
該協(xié)會確定的研究方案是：先從這六組數(shù)據(jù)中選取2組，用剩下的4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再用被選取的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)．

（1）記選取的2組數(shù)據(jù)相隔的月份數(shù)為X，若是相鄰2組的數(shù)據(jù)，則X=0，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（2）已知選取的是1月與6月的兩組數(shù)據(jù)．
（i）請根據(jù)2至5月份的數(shù)據(jù)，求出就診人數(shù)y關(guān)于晝夜溫差x的線性回歸方程；
（ii）若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過2人，則認(rèn)為得到的線性回歸方程是理想的，試問該協(xié)會所得線性回歸方程是否理想？
（參考公式：$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$），$\widehat{a}$=$\overline{y}$-b$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （1）本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是從6組數(shù)據(jù)中選取2組數(shù)據(jù)共有C₆²種情況，求出X的分布列及數(shù)學(xué)期望即可；
（2）（i）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，求出x，y的平均數(shù)，根據(jù)求線性回歸方程系數(shù)的方法，求出系數(shù)b，把b和x，y的平均數(shù)，代入求a的公式，做出a的值，寫出線性回歸方程．
（ii）根據(jù)所求的線性回歸方程，預(yù)報(bào)當(dāng)自變量為10和6時(shí)的y的值，把預(yù)報(bào)的值同原來表中所給的10和6對應(yīng)的值做差，差的絕對值不超過2，得到線性回歸方程理想．

解答 解：（1）X可能的取值為0，1，2，3，4，
P（X=0）=$\frac{5}{15}$=$\frac{1}{3}$，P（X=1）=$\frac{4}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{4}{15}$，P（X=2）=$\frac{3}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{5}$，
P（X=3）=$\frac{2}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{2}{15}$，P（X=4）=$\frac{1}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{15}$，
∴X的分布列是：

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{1}{3}$	$\frac{4}{15}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{2}{15}$	$\frac{1}{15}$

∴EX=$\frac{4}{15}$+$\frac{2}{5}$+$\frac{6}{15}$+$\frac{4}{15}$=$\frac{4}{3}$；
（2）（i）由數(shù)據(jù)求得$\overline{x}$=11，$\overline{y}$=24，
由公式求得b=$\frac{18}{7}$，再由$\widehat{a}$=$\overline{y}$-b$\overline{x}$，
求得a=-$\frac{30}{7}$，
∴y關(guān)于x的線性回歸方程為y?=$\frac{18}{7}$x-$\frac{30}{7}$；
（ii）當(dāng)x=10時(shí)，y=$\frac{150}{7}$，x=6時(shí)，y=$\frac{78}{7}$，
|$\frac{150}{7}$-22|=$\frac{4}{7}$＜2，|$\frac{78}{7}$-14|=$\frac{6}{7}$＜2．
∴該小組所得線性回歸方程是理想的．

點(diǎn)評 本題考查線性回歸方程的求法，考查等可能事件的概率，考查線性分析的應(yīng)用，考查解決實(shí)際問題的能力，是一個(gè)綜合題目，這種題目可以作為解答題出現(xiàn)在高考卷中．