Question

【題目】已知數(shù)列{an}滿足a1=a，an+1= （n∈N*）．
（1）求a2 ， a3 ， a4；
（2）猜測(cè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由an+1= ，可得a2= = ，a3= = = ，

a4= = =

（2）

解：猜測(cè)an= （n∈N*）．

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)n=1時(shí)，左邊=a1=a，

右邊= =a，猜測(cè)成立．

②假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N*）時(shí)猜測(cè)成立，

即ak= ．

則當(dāng)n=k+1時(shí)，ak+1= =

= = ．

故當(dāng)n=k+1時(shí)，猜測(cè)也成立．

由①，②可知，對(duì)任意n∈N*都有an= 成立

【解析】（1）由an+1= ，可求a2 ， a3 ， a4；（2）猜測(cè)an= （n∈N*），再用數(shù)學(xué)歸納法證明．
【考點(diǎn)精析】利用數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)學(xué)歸納法的定義對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式；數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法．