設n∈N+，且sinx＋cosx＝－1，求sinnx＋cosnx的值，先觀察n＝1，2，3，4的值，歸納猜測sinnx＋cosnx的值．

答案：
解析：

　　解析：當n＝1時，有sinx＋cosx＝－1；

　　當n＝2時，有sin2x＋cos2x＝1；

　　當n＝3時，有sin3x＋cos3x＝(sin2x＋cos2x)(sinx＋cosx)－sinxcosx(sinx＋cosx)

　　注意到(sinx＋cosx)2＝(－1)2

　　∴sin2x＋2sinxcosx＋cos2x＝1

　　∴sinxcosx＝0

　　代入前式得

　　sin3x＋cos3x＝1·(－1)－0·(－1)＝－1．

　　當n＝4時，sin4x＋cos4x＝(sin3x＋cos3x)

　　(sinx＋cosx)－sinxcosx(sin2x＋cos2x)

　�。�(－1)2－0×1＝1

　　由以上我們可以猜測，當n∈N+時，可能有sinnx＋cosnx＝(－1)n成立．


練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對于數(shù)列{xn}，如果存在一個正整數(shù)m，使得對任意的n（n∈N*）都有xn+m=xn成立，那么就把這樣一類數(shù)列{xn}稱作周期為m的周期數(shù)列，m的最小值稱作數(shù)列{xn}的最小正周期，以下簡稱周期．例如當xn=2時，{xn}是周期為1的周期數(shù)列，當yn=sin(
π
2
n)時，{yn}的周期為4的周期數(shù)列．
（1）設數(shù)列{an}滿足an+2=λ•an+1-an（n∈N*），a1+a，a2=b（a，b不同時為0），且數(shù)列{an}是周期為3的周期數(shù)列，求常數(shù)λ的值；
（2）設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且4Sn=（an+1）2．
①若an＞0，試判斷數(shù)列{an}是否為周期數(shù)列，并說明理由；
②若anan+1＜0，試判斷數(shù)列{an}是否為周期數(shù)列，并說明理由．
（3）設數(shù)列{an}滿足an+2=-an+1-an（n∈N*），a1=1，a2=2，bn=an+1，數(shù)列{bn}的前n項和Sn，試問是否存在p、q，使對任意的n∈N*都有p≤
Sn
n
≤q成立，若存在，求出p、q的取值范圍；不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•浦東新區(qū)一模）設函數(shù)T(x)=
2x，  0≤x＜
1
2
2(1-x)，  
1
2
≤x≤1

（1）求函數(shù)y=T（sin（
π
2
x））和y=sin（
π
2
T（x））的解析式；
（2）是否存在非負實數(shù)a，使得aT（x）=T（ax）恒成立，若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由；
（3）定義Tn+1（x）=Tn（T（x）），且T1（x）=T（x），（n∈N*）
①當x∈[0，
1
2n
]時，求y=Tn（x）的解析式；
已知下面正確的命題：當x∈[
i-1
2n
，
i+1
2n
]（i∈N*，1≤i≤2n-1）時，都有Tn（x）=Tn（
i
2n-1
-x）恒成立．
②對于給定的正整數(shù)m，若方程Tm（x）=kx恰有2m個不同的實數(shù)根，確定k的取值范圍；若將這些根從小到大排列組成數(shù)列{xn}（1≤n≤2m），求數(shù)列{xn}所有2m項的和．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2009•嘉定區(qū)一模）（理）已知函數(shù)f(x)=log2
2
x
1-x
，P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是f（x）圖象上兩點．
（1）若x1+x2=1，求證：y1+y2為定值；
（2）設Tn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)，其中n∈N*且n≥2，求Tn關(guān)于n的解析式；
（3）對（2）中的Tn，設數(shù)列{an}滿足a1=2，當n≥2時，an=4Tn+2，問是否存在角a，使不等式(1-
1
a1
)(1-
1
a2
)…(1-
1
an
)＜
sinα
2n+1
對一切n∈N*都成立？若存在，求出角α的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）=
1
4
x2+bx-
3
4
，已知不論α、β為何實數(shù)，恒有f（cosα）≤0，f（2-sinβ）≥0，對正數(shù)數(shù)列{an}，其前n項和Sn=f（an）（n∈N+）．
（1）求b的值；
（2）求數(shù)列{an}的通項公式；
（3）問是否存在等比數(shù)列{bn}，使得a1b1+a2b2+…+anbn=2n+1（2n-1）+2對于一切正整數(shù)n都成立？并證明你的結(jié)論．
（4）若
cn
=
1
1+an
（n∈N+），且數(shù)列{cn}的前n項和為Tn，試比較Tn與
1
6
的大小，并給予證明．

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科目：高中數(shù)學 來源：南匯區(qū)二模 題型：解答題

對于數(shù)列{xn}，如果存在一個正整數(shù)m，使得對任意的n（n∈N*）都有xn+m=xn成立，那么就把這樣一類數(shù)列{xn}稱作周期為m的周期數(shù)列，m的最小值稱作數(shù)列{xn}的最小正周期，以下簡稱周期．例如當xn=2時，{xn}是周期為1的周期數(shù)列，當yn=sin(
π
2
n)時，{yn}的周期為4的周期數(shù)列．
（1）設數(shù)列{an}滿足an+2=λ•an+1-an（n∈N*），a1+a，a2=b（a，b不同時為0），且數(shù)列{an}是周期為3的周期數(shù)列，求常數(shù)λ的值；
（2）設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且4Sn=（an+1）2．
①若an＞0，試判斷數(shù)列{an}是否為周期數(shù)列，并說明理由；
②若anan+1＜0，試判斷數(shù)列{an}是否為周期數(shù)列，并說明理由．
（3）設數(shù)列{an}滿足an+2=-an+1-an（n∈N*），a1=1，a2=2，bn=an+1，數(shù)列{bn}的前n項和Sn，試問是否存在p、q，使對任意的n∈N*都有p≤
Sn
n
≤q成立，若存在，求出p、q的取值范圍；不存在，說明理由．

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