Question

【題目】設(shè)函數(shù)

（1）當(dāng)， 恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

（2）設(shè)在上有兩個(gè)極值點(diǎn).

（A）求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（B）求證： .

Answer 1

【答案】（1）；（2）（A）；（B）證明見解析；

【解析】試題分析：(1)構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)分， ， ， 出函數(shù)的最值即可,
(2)函數(shù) 有兩個(gè)極值點(diǎn)、,即導(dǎo)函數(shù)g′(x)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,對(duì)a進(jìn)行分類討論,不妨設(shè)，則,構(gòu)造函數(shù)， .,利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式.

試題解析：

解：（1）∵，且，

∴.

令，則.

①當(dāng)時(shí)， ， 在上為單調(diào)遞增函數(shù)，

∴時(shí)， ，不合題意.

②當(dāng)時(shí)， 時(shí)， ， 在上為單調(diào)遞增函數(shù)，

∴， ，不合題意.

③當(dāng)時(shí)， ， ， 在上為單調(diào)遞減函數(shù).

∴時(shí)， ，不合題意.

④當(dāng)時(shí)， ， ， 在上為單調(diào)遞增函數(shù).

， ， 在上為單調(diào)遞減函數(shù).

∴，符合題意.

綜上， .

（2）， .

.

令，則

由已知在上有兩個(gè)不等的實(shí)根.

（A）①當(dāng)時(shí)， ， 在上為單調(diào)遞增函數(shù)，不合題意.

②當(dāng)時(shí)， ， 在上為單調(diào)遞減函數(shù)，不合題意.

③當(dāng)時(shí)， ， ， ， ，

所以， ， ， ，解得.

（B）由已知， ，

∴.

不妨設(shè)，則，則 .

令， .

則，∴在上為單調(diào)遞增函數(shù)，

∴

即，

∴，

∴，

∴，

由（A），

∴， ，

∴.