Question

5．設函數f（x）=（ax+1）e^-x（a∈R）
（Ⅰ）當a＞0時，求f（x）的單調遞增區(qū)間；
（Ⅱ）對任意x∈[0，+∞），f（x）≤x+1恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導，當a＞0時，令f′（x）＞0，解得函數的單調遞增區(qū)間；
（Ⅱ）x∈[0，+∞），由題意可知將f（x）≤x+1恒成立，轉化為a≤e^x+$\frac{{e}^{x}-1}{x}$，x∈[0，+∞）恒成立，構造輔助函數F（x）=e^x+$\frac{{e}^{x}-1}{x}$，g（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{x}$，求導，F（x）在x∈[0，+∞）上單調遞增，由在x=0處極限，$\underset{lim}{x→0}$$\frac{{e}^{x}-1}{x}$=1，可求得F（x）的最小值，求得a的取值范圍；

解答 解：（Ⅰ）f（x）=（ax+1）e^-x（a∈R）定義域為R，
∴f′（x）=e^-x（-ax+a-1），
令f′（x）=0，解得：x=1-$\frac{1}{a}$，
f′（x）＞0，解得x＜1-$\frac{1}{a}$，
∴當a＞0時，求f（x）的單調遞增區(qū)間；（-∞，1-$\frac{1}{a}$）；
（Ⅱ）由x∈[0，+∞），f（x）≤x+1恒成立，即（ax+1）e^-x≤x+1，可轉化為a≤e^x+$\frac{{e}^{x}-1}{x}$，x∈[0，+∞）恒成立，
設F（x）=e^x+$\frac{{e}^{x}-1}{x}$，
g（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{x}$，則g′（x）=$\frac{（x-1）{e}^{x}+1}{{x}^{2}}$，
令h（x）=（x-1）e^x+1，則h′（x）=e^x+e^x（x-1）=xe^x，
當x＞0時，h′（x）=xe^x＞0，
∴h（x）是上的增函數，
∴h（x）＞h（0）=0，
∴g′（x）=$\frac{h（x）}{{x}^{2}}$＞0，
即函數g（x）是（0，+∞）上的增函數．
∴F（x）在（0，+∞）上的增函數．
F（x）在x=0處取最小值，即$\underset{lim}{x→0}$（e^x+$\frac{{e}^{x}-1}{x}$）=1+$\underset{lim}{x→0}$$\frac{{e}^{x}-1}{x}$，
由洛必達法則可知：$\underset{lim}{x→0}$$\frac{{e}^{x}-1}{x}$=1，
故F（x）的最小值為2，
∴a≤2，
實數a的取值范圍（-∞，+2]．

點評 本題考查了利用導數研究閉在區(qū)間上函數的單調性極值與最值、恒成立問題的等價轉化方法，考查利用洛必達法則求極限問題，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．