Question

5．設(shè)函數(shù)f（x）=（ax+1）e^-x（a∈R）
（Ⅰ）當(dāng)a＞0時(shí)，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）對(duì)任意x∈[0，+∞），f（x）≤x+1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導(dǎo)，當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）＞0，解得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）x∈[0，+∞），由題意可知將f（x）≤x+1恒成立，轉(zhuǎn)化為a≤e^x+$\frac{{e}^{x}-1}{x}$，x∈[0，+∞）恒成立，構(gòu)造輔助函數(shù)F（x）=e^x+$\frac{{e}^{x}-1}{x}$，g（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{x}$，求導(dǎo)，F(xiàn)（x）在x∈[0，+∞）上單調(diào)遞增，由在x=0處極限，$\underset{lim}{x→0}$$\frac{{e}^{x}-1}{x}$=1，可求得F（x）的最小值，求得a的取值范圍；

解答 解：（Ⅰ）f（x）=（ax+1）e^-x（a∈R）定義域?yàn)镽，
∴f′（x）=e^-x（-ax+a-1），
令f′（x）=0，解得：x=1-$\frac{1}{a}$，
f′（x）＞0，解得x＜1-$\frac{1}{a}$，
∴當(dāng)a＞0時(shí)，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（-∞，1-$\frac{1}{a}$）；
（Ⅱ）由x∈[0，+∞），f（x）≤x+1恒成立，即（ax+1）e^-x≤x+1，可轉(zhuǎn)化為a≤e^x+$\frac{{e}^{x}-1}{x}$，x∈[0，+∞）恒成立，
設(shè)F（x）=e^x+$\frac{{e}^{x}-1}{x}$，
g（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{x}$，則g′（x）=$\frac{（x-1）{e}^{x}+1}{{x}^{2}}$，
令h（x）=（x-1）e^x+1，則h′（x）=e^x+e^x（x-1）=xe^x，
當(dāng)x＞0時(shí)，h′（x）=xe^x＞0，
∴h（x）是上的增函數(shù)，
∴h（x）＞h（0）=0，
∴g′（x）=$\frac{h（x）}{{x}^{2}}$＞0，
即函數(shù)g（x）是（0，+∞）上的增函數(shù)．
∴F（x）在（0，+∞）上的增函數(shù)．
F（x）在x=0處取最小值，即$\underset{lim}{x→0}$（e^x+$\frac{{e}^{x}-1}{x}$）=1+$\underset{lim}{x→0}$$\frac{{e}^{x}-1}{x}$，
由洛必達(dá)法則可知：$\underset{lim}{x→0}$$\frac{{e}^{x}-1}{x}$=1，
故F（x）的最小值為2，
∴a≤2，
實(shí)數(shù)a的取值范圍（-∞，+2]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究閉在區(qū)間上函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、恒成立問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查利用洛必達(dá)法則求極限問(wèn)題，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．