【題目】如圖,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,AC=BC=5,AB=6,M是CC1中點(diǎn),CC1=8.
(1)求證:平面AB1M⊥平面A1ABB1;
(2)求平面AB1M與平面ABC所成二面角的正弦值.
【答案】
(1)證明:連結(jié)A1B,交AB1于點(diǎn)P,
∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中,四邊形ABB1A1是矩形,∴P是A1B的中點(diǎn),
取AB的中點(diǎn)N,連結(jié)CN,PN,MP,
則NP∥CM,且NP=CM,∴四邊形MCNP是平行四邊形,
∴CN∥MP,
又AC=BC,∴CN⊥AB,
∵CC1⊥平面ABC,∴CC1⊥CN,
又AA1∥CC1,∴CN⊥AA1,
∴CN⊥平面A1ABB1,∴MP⊥平面A1ABB1,
∵M(jìn)P平面AB1M,∴平面AB1M⊥平面A1ABB1.
(2)解:以N為原點(diǎn),NA為x軸,CN為y軸,NP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
∵AC=BC=5,AB=6,M是CC1中點(diǎn),CC1=8,
∴A(3,0,0),M(0,﹣4,4),B1(﹣3,0,8),
=(﹣3,﹣4,4), =(﹣6,0,8),
設(shè)平面AB1M的法向量 =(x,y,z),
則 ,取x=4,得 =(4,0,3),
平面ABC的法向量 =(0,0,1),
設(shè)平面AB1M與平面ABC所成二面角的平面角為θ,
則cosθ= = ,sinθ= = .
∴平面AB1M與平面ABC所成二面角的正弦值為 .
【解析】(1)連結(jié)A1B,交AB1于點(diǎn)P,取AB的中點(diǎn)N,連結(jié)CN,PN,MP,推導(dǎo)出四邊形MCNP是平行四邊形,從而CN∥MP,進(jìn)而CC1⊥CN,由AA1∥CC1 , 知CN⊥AA1 , 從而CN⊥平面A1ABB1 , 進(jìn)而MP⊥平面A1ABB1 , 由此能證明平面AB1M⊥平面A1ABB1 . (2)以N為原點(diǎn),NA為x軸,CN為y軸,NP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出平面AB1M與平面ABC所成二面角的正弦值.
【考點(diǎn)精析】利用平面與平面垂直的判定對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線,則這兩個(gè)平面垂直.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分12分)
已知拋物線C的方程C:y2="2" p x(p>0)過點(diǎn)A(1,-2).
(I)求拋物線C的方程,并求其準(zhǔn)線方程;
(II)是否存在平行于OA(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的直線l,使得直線l與拋物線C有公共點(diǎn),且直線OA與l的距離等于?若存在,求出直線l的方程;若不存在,說明理由。
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【題目】已知定義在[0,+∞)上的函數(shù)f(x)滿足f(x)=2f(x+2),當(dāng)x∈[0,2)時(shí),f(x)=﹣2x2+4x.設(shè)f(x)在[2n﹣2,2n)上的最大值為an(n∈N*),且{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 則Sn=( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ex﹣ln(x+a)(a∈R)有唯一的零點(diǎn)x0 , 則( )
A.﹣1<x0<﹣
B.﹣ <x0<﹣
C.﹣ <x0<0
D.0<x0<
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知h(x)=|2x﹣1|+m|x+3|(m>0),且h(x)的最小值是7. (Ⅰ)求m的值;
(Ⅱ)求出當(dāng)h(x)取得最小值時(shí)x的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題:“今有器中米,不知其數(shù),前人取半,中人三分取一,后人四分取一,余米一斗五升.問,米幾何?”如圖是解決該問題的程序框圖,執(zhí)行該程序框圖,若輸出的S=1.5(單位:升),則輸入k的值為( )
A.4.5
B.6
C.7.5
D.9
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知等差數(shù)列{an}的前n(n∈N*)項(xiàng)和為Sn , a3=3,且λSn=anan+1 , 在等比數(shù)列{bn}中,b1=2λ,b3=a15+1. (Ⅰ)求數(shù)列{an}及{bn}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{cn}的前n(n∈N*)項(xiàng)和為Tn , 且 ,求Tn .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將圓x2+y2=1上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼? ,得曲線C. (Ⅰ)寫出C的參數(shù)方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l:3x+y+1=0與C的交點(diǎn)為P1、P2 , 以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,求過線段P1P2的中點(diǎn)且與l垂直的直線的極坐標(biāo)方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若曲線f(x)= (e﹣1<x<e2﹣1)和g(x)=﹣x3+x2(x<0)上分別存在點(diǎn)A、B,使得△OAB是以原點(diǎn)O為直角頂點(diǎn)的直角三角形,且斜邊AB的中點(diǎn)在y軸上,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.(e,e2)
B.(e, )
C.(1,e2)
D.[1,e)
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