Question

若二項(xiàng)式（

1

x

+x²）³展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為k，則直線y=kx與曲線y=x²圍成的封閉圖形的面積為（　�。�

• A、3
• B、

  9

  2

• C、9
• D、

  27

  2

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),定積分在求面積中的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,二項(xiàng)式定理

分析：在二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)等于零，求得r的值，可得展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為k=3．求出直線y=kx與曲線y=x²圍成交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用定積分求得直線y=kx與曲線y=x²圍成圖形的面積．

解答： 解：設(shè)（

1

x

+x²）³的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為 T_r+1=

C

r 3

•x^r-3•x^2r=

C

r 3

•x^3r-3，
令3r-3=0，r=1，故展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為k=3．
則直線y=kx即y=3x，由

y=3x y=x2

，求得直線y=kx與曲線y=x²圍成交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0）、（3，9），
故直線y=kx與曲線y=x²圍成圖形的面積為

∫

3 0

（3x-x²）dx=（

3

2

x²-

x3

3

）

|

3 0

=

9

2

，
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，利用定積分求曲邊形的面積，屬于基礎(chǔ)題．