Question

如圖，在以AE=2為直徑的半圓周上，B、C，D分別為弧AE的四等分點(diǎn)．
（Ⅰ）在弧AE上隨機(jī)取一點(diǎn)P，求滿足

OP

在

OA

上的投影大于

2

2

的概率；
（Ⅱ）在以O(shè)為起點(diǎn)，再?gòu)腁，B，C，D，E這5個(gè)點(diǎn)中任取兩點(diǎn)分別為終點(diǎn)得到兩個(gè)向量，記這兩向量數(shù)量積為x，則x=

2

2

的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的含義與物理意義,列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）根據(jù)概率定義，計(jì)算即可，
（2）通過列舉法，列出所有滿足條件的向的基本事件量，然后觀察符合條件的基本事件，計(jì)算即可．

解答： 解：（Ⅰ）由題知|

OP

|cos∠AOP＞

2

2

，
則0≤∠AOP＜

π

4

，
∴使得

OP

在

OA

上的射影大于

1

2

的概率P=

π 4

π

=

1

4

，
（Ⅱ）以O(shè)點(diǎn)為起點(diǎn)，從A，B，C，D，E，這5個(gè)點(diǎn)中任取兩點(diǎn)分別為終點(diǎn)得到兩個(gè)向量所有的基本事件有：
(

OA

，

OB

)，(

OA

，

OC

)，(

OA

，

OD

)，(

OA

，

OE

)，(

OB

，

OC

)，
(

OB

，

OD

)，(

OB

，

OE

)，(

OC

，

OD)

，(

OC

，

OE

)，(

OD

，

OE

)，
其中數(shù)量積x=

2

2

的有：(

OA

，

OB

)，(

OB

，

OC

)，(

OC

，

OD

)，(

OD

，

OE

)．
則P(x=

2

2

)=

2

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了概率的求法以及向量的有關(guān)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．