Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足4（n+1）（S_n+1）=（n+2）²a_n（n∈N⁺），求a_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：本題可以利用數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系，將和式轉(zhuǎn)化為項(xiàng)式，再構(gòu)造新的數(shù)列{

an

(n+1)3

}成常數(shù)列，通過(guò)數(shù)列{

an

(n+1)3

}通項(xiàng)研究，得到原數(shù)列的通項(xiàng)．

解答： 解：∵4（n+1）（S_n+1）=（n+2）²a_n（n∈N⁺），
∴當(dāng)n=1時(shí)，4（1+1）（S₁+1）=（1+2）²a₁，
∵S₁=a₁，∴a₁=8．
當(dāng)n≥2，n∈N^*時(shí)，
S_n+1=

(n+2)2an

4(n+1)

…①，
S_n-1+1=

(n+1)2an-1

4n

…②，
由①-②得：a_n=

(n+2)2an

4(n+1)

-

(n+1)2an-1

4n

，
∴

an

(n+1)3

=

an-1

n3

，
∵

a1

(1+1)3

=1，
∴數(shù)列{

an

(n+1)3

}是首項(xiàng)為1的常數(shù)數(shù)列，
∴

an

(n+1)3

=1，
∴an=(n+1)3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與通項(xiàng)公式的關(guān)系、構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)，還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，本題難度適中，屬于中檔題．