Question

如圖，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，△ABE為等腰三角形，AE=BE，平面ABCD⊥平面ABE，動點(diǎn)F在CE上，無論點(diǎn)F運(yùn)動到何處時，總有BF⊥AE．
（Ⅰ）求證：平面ADE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求三校錐的D-ACE體積．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（ I）根據(jù)點(diǎn)F運(yùn)動到何處時，總有BF⊥AE，推斷出AE⊥平面BCE，進(jìn)而根據(jù)面面垂直的判定定理推斷出平面ADE⊥平面BCE；
（ II）作AB的中點(diǎn)G，連結(jié)EG，由（ I）知AE⊥平面BCE，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知AE⊥BE，AE=BE，進(jìn)而根據(jù)EG⊥AB，求得EG，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可推斷出GE⊥平面ABCD最后根據(jù)V_D-ACE=V_E-ADC求得三校錐的D-ACE體積．

解答： （ I）證明：∵點(diǎn)F運(yùn)動到何處時，總有BF⊥AE，
∴AE⊥平面BCE，
∵AE?平面ADE，
∴平面ADE⊥平面BCE；
（ II）作AB的中點(diǎn)G，連結(jié)EG，
由（ I）知AE⊥平面BCE，
∵BE?平面BCE，
∴AE⊥BE，
∵AE=BE，
∴EG⊥AB，EG=

1

2

AB=1
∵平面ABCD⊥平面ABE，EG?平面ABE，平面ABCD∩平面ABE=AB，
∴GE⊥平面ABCD，
∴V_D-ACE=V_E-ADC=

1

3

•AE•S_△ADC=

1

3

×1×

1

2

×2×2=

2

3

．

點(diǎn)評：本題主要考查了線面垂直，面面垂直的判定定理的應(yīng)用．判斷面面垂直的重要一步就是先判斷出線面垂直．