Question

在四棱錐P-ABCD中，△PBC為正三角形，AB⊥平面PBC，CD∥AB，AB=

1

2

DC，DC=

3

BC，E為PD中點．
（1）求證：直線AE∥平面PBC；
（2）求證：平面APD⊥平面PDC；
（3）求平面PAD與平面PBC所成銳二面角的大小．

Answer 1

分析：（1）取PC的中點M，連接EM，利用三角形中位線的性質(zhì)，可以得到四邊形ABME是平行四邊形，從而得出AE∥BM，最后用線面平行的判定定理可以證出AE∥平面PBC；
（2）利用線面垂直的性質(zhì)結(jié)合AB∥CD，得到CD⊥平面PBC，從而得出CD⊥BM，再結(jié)合PC⊥BM，利用線面垂直的判定定理，得到BM⊥平面PDC，最后結(jié)合AE∥BM，得到AE⊥平面PDC，結(jié)合平面與平面垂直的判定定理，可得平面ADP⊥平面PDC；
（3）設(shè)BC=2a，求出S_△PAD=

1

2

×4a×

3

a=2

3

a2，S△PBC=

3

4

×4a2=

3

a2，可得平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值為

S△PBC

S△PAD

=

1

2

，即可求得結(jié)論．

解答：（1）證明：取PC的中點M，連接EM，
∵△PCE中，E、M分別為PD、PC的中點
∴EM∥CD，EM=

1

2

DC，
又∵CD∥AB且AB=

1

2

DC，
∴EM∥AB，EM=AB，
∴四邊形ABME是平行四邊形．
∴AE∥BM，
∵AE?平面PBC，AE?平面PBC
∴AE∥平面PBC；
（2）證明：∵AB⊥平面PBC，AB∥CD，
∴CD⊥平面PBC，
∵BM?平面PBC，∴CD⊥BM．
∵在正△PBC中，M是PC中點，∴BM⊥PC，
∵CD∩PC=C，CD、PC?平面PDC，
∴BM⊥平面PDC，
又∵AE∥BM，∴AE⊥平面PDC
∵AE?平面ADP，
∴平面ADP⊥平面PDC；
（3）解：設(shè)BC=2a，則△PAD中，AD=AP=

7

a，PD=4a，∴AE=

3

a，∴S_△PAD=

1

2

×4a×

3

a=2

3

a2
∵S△PBC=

3

4

×4a2=

3

a2
∴平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值為

S△PBC

S△PAD

=

1

2

∴平面PAD與平面PBC所成銳二面角的大小為60°．

點評：本題考查直線與平面的平行，直線與平面垂直，考查判定定理的應(yīng)用，考查面面角，考查學(xué)生的計算能力、邏輯推理能力．