Question

17．函數(shù)y=x+1，y=x²，y=$\frac{1}{x}$，y=x|x|中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是y=x|x|．

Answer 1

分析 選項(xiàng)中所涉及到的函數(shù)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的符合條件，要從兩個(gè)方面進(jìn)行判斷．這兩個(gè)方面可以借助于圖象，也可以直接利用奇函數(shù)的定義和函數(shù)單調(diào)性的判定方法進(jìn)行求解．

解答 解：設(shè)函數(shù)y=f（x），
f（x）=x+1），∵f（-x）≠±f（x），∴函數(shù)y=x+1為非奇非偶函數(shù)，不符合題意；
f（x）=x²，∵f（-x）=f（x），∴函數(shù)y=x²是偶函數(shù)，不符合題意
f（x）=$\frac{1}{x}$，∵f（-x）=f（x），∴函數(shù)y=$\frac{1}{x}$是奇函數(shù)，在（-∞，0），（0，+∞）是增函數(shù)
f（x）=x|x|，定義域?yàn)镽，f（-x）=-x|-x|=-f（x），為奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x²遞增，當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=-x²遞增，且f（0）=0，則f（x）在R上遞增，故滿足條件
故答案為：y=x|x|．

點(diǎn)評(píng) 本題重點(diǎn)考查常見函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，注意它們的判定方法．