Question

函數(shù)f（x）=|sin2x|+|cos2x|
（Ⅰ）求f（-

7π

12

）的值；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，

π

4

]時(shí)，求f（x）的取值范圍；
（Ⅲ）我們知道，函數(shù)的性質(zhì)通常指函數(shù)的定義域、值域、周期性、奇偶性、單調(diào)性等，請(qǐng)你探究函數(shù)f（x）的性質(zhì)（本小題只需直接寫出結(jié)論）

Answer 1

分析：（I）把所給的自變量的值代入函數(shù)式，根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)整理出結(jié)果．
（II）對(duì)函數(shù)式進(jìn)行整理，得到y(tǒng)=Asin（ωx+φ）的形式，根據(jù)所給的角的范圍寫出ωx+φ的范圍，根據(jù)三角函數(shù)的圖象得到函數(shù)的值域．
（III）根據(jù)上一問整理出的函數(shù)的解析式，得到函數(shù)的定義域、值域、周期性、奇偶性、單調(diào)性等．

解答：解：（Ⅰ）f(-

7π

12

)= |sin(-

7π

6

)|+|cos(-

7π

6

)| = |sin

π

6

|+|-cos

π

6

| =

1+ 3

2

2分
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，

π

4

]時(shí)，2x∈[0，

π

2

]，則sin2x≥0，cos2x≥0…3分
∴f(x)=sin2x+cos2x=

2

sin(2x+

π

4

)…5分
又∵x∈[0，

π

4

]
∴2x+

π

4

∈[

π

4

，

3π

4

]∴sin(2x+

π

4

)∈[

2

2

，1]
∴當(dāng)x∈[0，

π

4

]時(shí)，f（x）的取值范圍為[1，

2

]．　 …7分
（Ⅲ）①f（x）的定義域?yàn)镽；　　　　　　　　　　　　…8分
②∵f（-x）=|sin（-2x）|+|cos（-2x）|=|sin2x|+|cos2x|=f（x）∴f（x）為偶函數(shù)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　…9分
③∵f(x+

π

4

)= |sin(2x+

π

2

)|+|cos(2x+

π

2

)| = |cos2x|+|sin2x| =f(x)，
∴f（x）是周期為

π

4

的周期函數(shù)；　　　　　　　　　　…11分
④由（Ⅱ）可知，當(dāng)x∈[0，

π

4

]時(shí)，f(x)=

2

sin(2x+

π

4

)，
∴值域?yàn)?span id="7llq5it" class="MathJye">[1，

2

]．　　　　　　　　　　　　　　　…12分
⑤可作出f（x）圖象，如圖所示：
由圖象可知f（x）的增區(qū)間為[

kπ

4

，

π

8

+

kπ

4

]（k∈Z），
減區(qū)間為[

π

8

+

kπ

4

，

π

4

+

kπ

4

]（k∈Z）          …14分

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的恒等變形及三角函數(shù)的性質(zhì)，本題考查三角函數(shù)利用公式 asinx+bcosx=

a2+b2

sin(x+θ)化簡(jiǎn)，再進(jìn)行三角函數(shù)的性質(zhì)的運(yùn)算．