已知α∈(0,
π
2
)
,x∈R,函數(shù)f(x)=sin2(x+α)+sin2(x-α)-sin2x.
(1)求函數(shù)f(x)的奇偶性;
(2)是否存在常數(shù)α,使得對任意實數(shù)x,f(x)=f(
π
2
-x)
恒成立;如果存在,求出所有這樣的α;如果不存在,請說明理由.
分析:解法一:(1)利用奇偶性的定義即可判斷出;
(2)對等式f(x)=f(
π
2
-x)
展開化簡即可得出.
解法二:先利用倍角公式進行化簡再利用上述解法一即可.
解答:解法一:(1)定義域是x∈R,
∵f(-x)=sin2(-x-α)+sin2(-x+α)-sin2(-x)=sin2(x+α)+sin2(x-α)-sin2x=f(x),
∴函數(shù)f(x)是偶函數(shù).
(2)∵f(x)=f(
π
2
-x)
,∴sin2(x+α)+sin2(x-α)-sin2x=cos2(x-α)+cos2(x+α)-cos2x,
移項得:cos(2x-2α)+cos(2x+2α)-cos2x=0,
展開得:cos2x(2cos2α-1)=0,
對于任意實數(shù)x上式恒成立,只有cos2α=
1
2

∵0<2α<π,∴α=
π
6

解法二:f(x)=
1-cos(2x+2α)
2
+
1-cos(2x-2α)
2
-
1-cos2x
2
=
1-cos2x(2cos2α-1)
2

(1)定義域是x∈R,
f(-x)=
1-cos(-2x)(2cos2α-1)
2
=
1-cos2x(2cos2α-1)
2
=f(x)
,
∴該函數(shù)在定義域內(nèi)是偶函數(shù).
(2)由f(x)=f(
π
2
-x)
恒成立,
1-cos2x(2cos2α-1)
2
=
1-cos2(
π
2
-x)(2cos2α-1)
2

1-cos2x(2cos2α-1)
2
=
1+cos2x(2cos2α-1)
2
,
化簡可得:cos2x(2cos2α-1)=0對于任意實數(shù)x上式恒成立,
只有cos2α=
1
2
,
∵0<2α<π,∴α=
π
6
點評:熟練掌握三角函數(shù)的倍角公式、函數(shù)的奇偶性的判斷方法事件他的關(guān)鍵.本題需要較強的計算能力.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

①已知tanα=1,α∈(0,
π
2
)
,求
2cos2
α
2
-sinα-1
2
sin(
π
4
+α)
的值;
②已知θ∈(0,
π
2
)
,且sin(
π
4
+θ)
=
3
2
,求sin(
π
4
+2θ)的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知α∈(0,
π
2
),tan(π-α)=-
3
4
,則sinα
=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知0≤θ<2π,復(fù)數(shù)
i
cosθ+isinθ
>0
,則θ的值是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知θ∈(0,
π
2
)
,sinθ-cosθ=
2
2
,則cos2θ=
-
3
2
-
3
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知0≤x≤
π
2
,則函數(shù)y=cos(
π
12
-x)+cos(
12
+x)的值域是
[-
2
2
6
2
]
[-
2
2
,
6
2
]

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