Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-1的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線8x-y+2=0平行，若數(shù)列{

1

f(n)

}的前n項和為S_n，則S₂₀₁₀的值為（　�。�

• A、

  2010

  2011

• B、

  1005

  2011

• C、

  4020

  4021

• D、

  2010

  4021

Answer 1

分析：先利用函數(shù)f（x）=ax²-1的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線8x-y+2=0平行，求出a；代入即可求出數(shù)列{

1

f(n)

}的通項公式，再利用錯位相減法求和法即可求出S₂₀₁₀的值．

解答：解：因為f^′（x）=2ax：
所以f^′（1）=2a=8，得a=4．
所以f（x）=4x²-1，
故

1

f(n)

=

1

4n2-1

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

）
∴s₂₀₁₀=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

2×2010-1

-

1

2×2010+1

）]
=

1

2

（1-

1

2×2010+1

）=

2010

4021

故選：D．

點評：本題主要是對函數(shù)知識和數(shù)列知識的綜合考查．解決本題的關(guān)鍵是利用函數(shù)f（x）=ax²-1的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線8x-y+2=0平行，求出a的值以及錯位相減法的應(yīng)用．