Question

6．設(shè)函數(shù)f（x）=|x-a|-ax，其中a＞0．
（1）解不等式f（x）＜0；
（2）當(dāng)0＜a≤1時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）對(duì)參數(shù)a進(jìn)行分類(lèi)討論，去絕對(duì)值分別求解即可．
（2）在區(qū)間內(nèi)去絕對(duì)值，利用一次函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的最值，分別求最小值即可．

解答 解：（1）當(dāng)x≥a時(shí)，（x-a）-ax＜0 即（1-a）x＜a
                 ①當(dāng)0＜a＜1時(shí)，a≤x＜$\frac{a}{1-a}$
                 ②當(dāng)a=1時(shí)，x≥a
                 ③當(dāng)a＞1時(shí)，x＞$\frac{a}{1-a}$
                 當(dāng)x＜a時(shí)，（a-x）-ax＜0 即（1+a）x＞a
                  從而x＞$\frac{a}{1+a}$，
故$\frac{a}{1+a}$＜x＜a
        綜上所述，①當(dāng)0＜a＜1時(shí)，$\frac{a}{1+a}$＜x＜$\frac{a}{1-a}$
                          ②當(dāng)a=1時(shí)，x＞$\frac{a}{1+a}$
                          ③當(dāng)a＞1時(shí)，x＞$\frac{a}{1-a}$
  （2）當(dāng)x≥a時(shí)，f（x）=（x-a）-ax=（1-a）x-a
             因?yàn)?＜a＜1，所以斜率1-a＞0，
f（x）在[a，+∞]單調(diào)增，在x=a處取到最小值-a²，
            當(dāng)x＜a時(shí)，f（x）=（a-x）-ax=a-（1+a）x
             斜率-（1+a）＜0，f（x）在[-∞，a）單調(diào)減，f（x）＞f（a）=-a²，
            綜上所述，當(dāng)0＜a≤1時(shí)，f（x）的最小值為-a²．

點(diǎn)評(píng) 考查了絕對(duì)值函數(shù)的分類(lèi)討論問(wèn)題，難點(diǎn)是對(duì)參數(shù)的分類(lèi)．