Question

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，若f（x）≤|x|對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，則稱函數(shù)f（x）為Ω函數(shù)．
求證：若a＞1，則函數(shù)f（x）=ln（x²+a）-lna是Ω函數(shù)．

Answer 1

分析：由題意可知f（x）的定義域?yàn)镽，由f(x)=ln(x2+a)-lna=ln(

x2

a

+1)，a＞1，知

x2

a

+1＞1，f(x)＞0，|f(x)|=f(x)．令g（x）=|f（x）|-|x|=f（x）-|x|當(dāng)x≥0時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)得到g（x）在[0，+∞）上為減函數(shù)；當(dāng)x＜0時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)得到g（x）在（-∞，0）為增函數(shù)．故g（x）在x=0處取得極大值，同時(shí)也為最大值．由此能夠證明函數(shù)f（x）=ln（x²+a）-lna是Ω函數(shù)．

解答：證明：由題意可知f（x）的定義域?yàn)镽，
∵f(x)=ln(x2+a)-lna=ln(

x2

a

+1)，a＞1，
∴

x2

a

+1＞1，f(x)＞0，|f(x)|=f(x)
令g（x）=|f（x）|-|x|=f（x）-|x|
∴當(dāng)x≥0時(shí)，g(x)=f(x)-x，g′(x)=f′(x)-1=

2x

x2+a

-1=

2x-x2-a

x2+a

=

(x-1)2+1-a

x2+a

＜0．
∴g（x）在[0，+∞）上為減函數(shù)；
當(dāng)x＜0時(shí)，g(x)=f(x)+x，g′(x)=f′(x)+1=

2x

x2+a

+1=

2x+x2+a

x2+a

=

(x+1)2-1+a

x2+a

＞0
∴g（x）在（-∞，0）為增函數(shù)．∴g（x）在x=0處取得極大值，同時(shí)也為最大值．
∴g（x）≤g（0）=lna-lna=0．
即|f（x）|-|x|≤0在x∈R恒成立，即|f（x）|≤|x|在x∈R恒成立．
∴函數(shù)f（x）=ln（x²+a）-lna是Ω函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)最值的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對(duì)數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．