Question

10．過(guò)拋物線y²=4x的頂點(diǎn)作互相垂直的兩條弦OA、OB，求AB中點(diǎn)的軌跡方程．

Answer 1

分析 設(shè)直線OA的方程為y=kx（k≠0），代入拋物線方程，求得交點(diǎn)A，再設(shè)出直線OB的方程，可得交點(diǎn)B，再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，運(yùn)用平方消元，即可得到中點(diǎn)的軌跡方程．

解答 解：∵依題意可知直線OA的斜率存在且不為0，
∴設(shè)直線OA的方程為y=kx（k≠0），
∴聯(lián)立y²=4x，解得x_A=$\frac{4}{{k}^{2}}$，y_A=$\frac{4}{k}$，
以-$\frac{1}{k}$代上式中的k，解方程組，
解得x_B=4k²，y_B=-4k
∴A（$\frac{4}{{k}^{2}}$，$\frac{4}{k}$），B（4k²，-4k），
設(shè)AB中點(diǎn)M（x，y），則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，
得x=$\frac{1}{2}$（$\frac{4}{{k}^{2}}$+4k²），y=$\frac{1}{2}$（$\frac{4}{k}$-4k），
消去參數(shù)k，得y²=2x-8，即為AB中點(diǎn)的軌跡方程．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，主要考查直線和拋物線方程聯(lián)立，求交點(diǎn)，同時(shí)考查兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，屬于中檔題．