已知以點C (t∈R，t≠0)為圓心的圓與x軸交于點O、A，與y軸交于點O、B，其中O為原點．

(1)求證：△AOB的面積為定值；

(2)設直線2x＋y－4＝0與圓C交于點M、N，若OM＝ON，求圓C的方程.

 

【答案】

(1)見解析；(2)(x－2)2＋(y－1)2＝5.

【解析】

試題分析：(1)先求出圓的方程，然后求出與坐標軸的交點坐標，然后求S△AOB＝OA·OB＝|2t|·＝4為定值；(2)由OM＝ON，知O在MN的中垂線上，設MN的中點為H，則CH⊥MN，由C、H、O三點共線求出t＝2或t＝－2，從而得出圓方程.此題注意圓方程的取舍.

試題解析： (1)證明　由題設知，圓C的方程為(x－t)2＋2＝t2＋，

化簡得x2－2tx＋y2－y＝0，當y＝0時，x＝0或2t，則A(2t,0)；

當x＝0時，y＝0或，則B，∴S△AOB＝OA·OB＝|2t|·＝4為定值．

(2)解　∵OM＝ON，則原點O在MN的中垂線上，設MN的中點為H，則CH⊥MN，

∴C、H、O三點共線，則直線OC的斜率k＝＝＝，∴t＝2或t＝－2.

∴圓心為C(2,1)或C(－2，－1).

∴圓C的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝5或(x＋2)2＋(y＋1)2＝5，

由于當圓方程為(x＋2)2＋(y＋1)2＝5時，直線2x＋y－4＝0到圓心的距離d>r，此時不滿足直線與圓相交，故舍去.

∴圓C的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝5.

考點：1.圓的標準方程；2.直線與圓的位置關(guān)系.

 

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：江西省新余一中2011－2012學年高二下學期第一次段考數(shù)學理科試題 題型：044

已知以點C(t，)(t∈R)，t≠0)為圓心的圓與x軸交于點O，A，與y軸交于點O，B，其中O為坐標原點．

(1)求證：△OAB的面積為定值；

(2)設直線y＝－2x＋4與圓C交于點M，N若|OM|＝|ON|，求圓C的方程．

(3)若t＞0，當圓C的半徑最小時，圓C上至少有三個不同的點到直線l：y－＝k(x－3－)的距離為，求直線l的斜率k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：2013屆江西省高二下學期第一次段考理科數(shù)學試卷 題型：解答題

已知以點C (t, )（t∈R），t≠0）為圓心的圓與x軸交于點O，A，與y軸交于點O，B，其中O為坐標原點．

（1）求證：△OAB的面積為定值；

（2）設直線y= –2x+4與圓C交于點M，N若|OM|=|ON|，求圓C的方程．

（3）若t＞0，當圓C的半徑最小時，圓C上至少有三個不同的點到直線l：y –的距離為，求直線l的斜率k的取值范圍．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010年湖北省高一下學期期末考試數(shù)學試卷 題型：解答題

(本小題12分)已知: 以點C (t, )(t∈R , t ≠ 0)為圓心的圓與軸交于點O, A, 與y軸交于點O, B, 其中O為原點.

（1）求證：△OAB的面積為定值;

（2）設直線y = –2x+4與圓C交于點M, N, 若OM = ON, 求圓C的方程.

 

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（15分）已知以點C (t, )(t∈R , t ≠ 0)為圓心的圓與軸交于點O、A，與y軸交于點O、B，其中O為原點．（1）求證：△OAB的面積為定值；（2）設直線y = –2x+4與圓C交于點M, N，若OM = ON，求t的值并求出圓C的方程．

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