Question

已知函數(shù)f（x）=

1+lnx

x

（x≥1）．
（Ⅰ）試判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并說(shuō)明理由；
（Ⅱ）若f（x）≥

k

x+1

恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）求導(dǎo)函數(shù)，確定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，可得函數(shù)的單調(diào)性；
（II）f（x）≥

k

x+1

恒成立，即

(x+1)(1+lnx)

x

≥k恒成立，確定左邊對(duì)應(yīng)函數(shù)的最小值，即可求得k的范圍．

解答：解：（I）求導(dǎo)函數(shù)，可得f′(x)=-

lnx

x2

∵x≥1，∴l(xiāng)nx≥0，∴f′（x）≤0
∴f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減；
（II）f（x）≥

k

x+1

恒成立，即

(x+1)(1+lnx)

x

≥k恒成立，
記g（x）=

(x+1)(1+lnx)

x

，則g′（x）=

x-lnx

x2

再令h（x）=x-lnx，則h′（x）=1-

1

x

∵x≥1，∴h′（x）≥0，∴h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增．
∴[h（x）]_min=h（1）=1＞0，從而g′（x）＞0  
故g（x）在[1，+∞）上也單調(diào)遞增
∴[g（x）]_min=g（1）=2
∴k≤2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和已知單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍．求函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，要注意函數(shù)的定義域，而恒成立問(wèn)題，一般轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題解決．