Question

已知g（x）=e^x+x²（

2

3

x-

3

2

），f（x）是g（x）的導(dǎo)函數(shù)．
（1）判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（2）當(dāng)x≥

1

2

時(shí)，若關(guān)于x的不等式f（x）≥

5

2

x²+（a-3）x+1恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先對(duì)g（x）求導(dǎo)，再對(duì)f（x）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性及零點(diǎn)判定定理求得零點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而得極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（2）構(gòu)造函數(shù)F（x），將恒成立問題化為最值問題，再進(jìn)行求導(dǎo)求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）由題意，
f（x）=g′（x）=e^x+2x（

2

3

x-

3

2

）+x²×

2

3

=e^x+2x²-3x，
則f′（x）=e^x+4x-3，
易知f′（x）=e^x+4x-3在[0，1]上單調(diào)遞增，
且f′（0）=1-3＜0，f′（1）=e+4-3＞0；
則f（x）在[0，1]上先減后增，
故函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上極值點(diǎn)只有一個(gè)，且為極小值點(diǎn)．
（2）令F（x）=f（x）-（

5

2

x²+（a-3）x+1）=e^x-

1

2

x²-ax-1；
則當(dāng)x≥

1

2

時(shí)，關(guān)于x的不等式f（x）≥

5

2

x²+（a-3）x+1恒成立可化為：
當(dāng)x≥

1

2

時(shí)，F(xiàn)（x）=e^x-

1

2

x²-ax-1≥0恒成立；
∴F′（x）=e^x-x-a，
∴F″（x）=e^x-1在[

1

2

，+∞）上恒大于0；
∴F′（x）=e^x-x-a在[

1

2

，+∞）上是增函數(shù)；
∴①當(dāng)F′（

1

2

）=

e

-

1

2

-a≥0，即a≤

e

-

1

2

時(shí)，
F′（x）在（

1

2

，+∞）上恒大于0，
∴F（x）在[

1

2

，+∞）上是增函數(shù)；
∴F（

1

2

）=

e

-

1

2

×

1

4

-

1

2

a-1≥0，
則a≤2（

e

-

9

8

），
故a≤2（

e

-

9

8

）．
②當(dāng)F′（

1

2

）=

e

-

1

2

-a＜0，即a＞

e

-

1

2

時(shí)，
F′（x）在[

1

2

，+∞）上先負(fù)后正；
則存在x₀∈[

1

2

，+∞），使e^x₀-x₀-a=0，
則a=e^x₀-x₀．
∵F（x₀）=e^x₀-

1

2

x₀²-（e^x₀-x₀）x₀-1＜0，
∴不成立．
綜上所述，a≤2（

e

-

9

8

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，及恒成立問題的轉(zhuǎn)化思想，無論化簡(jiǎn)還是思路都比較困難，屬于難題．