Question

19．已知向量$\vec a=（{cos\frac{3}{2}x，sin\frac{3}{2}x}），\vec b=（{cos\frac{x}{2}，-sin\frac{x}{2}}）$，且$x∈（{0，\frac{π}{2}}）$．
（1）求$\vec a•\vec b$及$|{\vec a+\vec b}|$；
（2）若$f（x）=\vec a•\vec b-2λ|{\vec a+\vec b}|$的最小值為$-\frac{3}{2}$，求正實(shí)數(shù)λ的值．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)向量的數(shù)量積和向量的模計(jì)算即可．
（2）由（1）知f（x）=cos2x-4λcosx=2cos²x-4λcosx-1，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)分類(lèi)討論即可

解答 解：（1）$\vec a•\vec b=cos\frac{3}{2}xcos\frac{x}{2}-sin\frac{3}{2}xsin\frac{x}{2}=cos2x$
∵$\vec a+\vec b=（{cos\frac{3}{2}x+cos\frac{x}{2}，sin\frac{3}{2}x+sin\frac{x}{2}}）$，
∴${|{\vec a+\vec b}|^2}={（{cos\frac{3}{2}x+cos\frac{x}{2}}）^2}+{（{sin\frac{3}{2}x+sin\frac{x}{2}}）^2}$=$2+2（{cos\frac{3}{2}xcos\frac{x}{2}-sin\frac{3}{2}xsin\frac{x}{2}}）$=2+2cos2x=4cos²x．
∵$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，∴cosx≥0，因此$|{\vec a+\vec b}|=2cosx$．
（2）由（1）知f（x）=cos2x-4λcosx=2cos²x-4λcosx-1，
∴f（x）=2（cosx-λ）²-1-2λ²，cosx∈[0，1]，
①當(dāng)0＜λ＜1時(shí)，當(dāng)cosx=λ時(shí)，f（x）有最小值$-1-2{λ^2}=-\frac{3}{2}$，解得$λ=\frac{1}{2}$．
②當(dāng)λ≥1時(shí)，當(dāng)cosx=1時(shí)，f（x）有最小值$1-4λ=-\frac{3}{2}$，$λ=\frac{5}{8}$（舍去），綜上可得$λ=\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的數(shù)量積和向量的模以及三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題