【題目】已知函數(shù)

(Ⅰ)若關(guān)于的不等式上恒成立,求的取值范圍;

(Ⅱ)設(shè)函數(shù),在(Ⅰ)的條件下,試判斷上是否存在極值.若存在,判斷極值的正負(fù);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)當(dāng)時(shí), 上不存在極值;當(dāng)時(shí), 上存在極值,且極值均為正.

【解析】試題分析:(1)不等式恒成立問(wèn)題,一般先利用變量分離轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)最值問(wèn)題: 的最大值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值,易得上單調(diào)遞減,所以,因此,(2)即研究導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)情況,先求導(dǎo)數(shù),確定研究對(duì)象為,再求目標(biāo)函數(shù)導(dǎo)數(shù),確定單調(diào)性:先增后減,兩個(gè)端點(diǎn)值都小于零,討論最大值是否大于零,最后結(jié)合零點(diǎn)存在定理確定極值點(diǎn)個(gè)數(shù).

試題解析:解:(Ⅰ)由,得

上恒成立.

設(shè)函數(shù),

,∴

∴當(dāng)時(shí),

上單調(diào)遞減.

∴當(dāng)時(shí),

,即的取值范圍是

(Ⅱ),

設(shè),則

,得

當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí),

上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.

,

據(jù)(Ⅰ),可知

(。┊(dāng),即時(shí),

上單調(diào)遞減.

∴當(dāng)時(shí), 上不存在極值.

(ⅱ)當(dāng),即時(shí),

則必定,使得,且

當(dāng)變化時(shí), , , 的變化情況如下表:

-

0

+

0

-

-

0

+

0

-

極小值

極大值

∴當(dāng)時(shí), 上的極值為,且

設(shè),其中,

,∴上單調(diào)遞增, ,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).

,∴

∴當(dāng)時(shí), 上的極值

綜上所述:當(dāng)時(shí), 上不存在極值;當(dāng)時(shí), 上存在極值,且極值均為正.

注:也可由,得.令后再研究上的極值問(wèn)題.

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(1)分別求出的值;

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質(zhì)量指標(biāo)值分組

[75,85)

[8595)

[95,105)

[105115)

[115,125)

頻數(shù)

6

26

38

22

8

(1)作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖

(2)估計(jì)這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)及方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);

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