Question

設函數(shù)f（x）=x³-2ex²+mx-lnx，記g(x)=

f(x)

x

，若函數(shù)g（x）至少存在一個零點，則實數(shù)m的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：由題意得：x²-2ex+m-

lnx

x

=0有解，即m=-x²+2ex+

lnx

x

，我們畫出函數(shù) y=-x²+2ex+

lnx

x

的圖象，根據(jù)圖象分析函數(shù)存在零點時m的取值范圍，進而求出實數(shù)m的取值范圍，即可得到答案．

解答：解：∵函數(shù)g（x）至少存在一個零點，
∴x²-2ex+m-

lnx

x

=0有解，即m=-x²+2ex+

lnx

x

，
∵m'=-2x+2e+

1-lnx

x2

=-2（x-e）+

-(lnx-lne)

x2

，
∴當x∈（0，e）時，m'＞0，m為關于x的增函數(shù)；
當x∈（e，+∞）時，m'＜0，m為關于x的減函數(shù)．
因此，畫出函數(shù)y=-x²+2ex+

lnx

x

的圖象如右圖所示，
則若函數(shù)g（x）至少存在一個零點，
則m小于函數(shù)y=-x²+2ex+

lnx

x

的最大值即可，
函數(shù)y=-x²+2ex+

lnx

x

的最大值為：e2+

1

e

即m≤e2+

1

e

．
故答案為(-∞，e2+

1

e

]．

點評：本題考查的知識點是函數(shù)零點的判定定理，數(shù)形結合思想是解析函數(shù)圖象交點個數(shù)、函數(shù)零點個數(shù)中最常用的方法，即畫出滿足條件的圖象，然后根據(jù)圖象直觀的分析出答案，但數(shù)形結合的前提是熟練掌握各種基本初等函數(shù)的圖象和性質．