Question

1．在等差數(shù)列{a_n}中，a₁=3，其前n項和為S_n，等比數(shù)列{b_n}的各項均為正數(shù)，b₁=1，公比為q（q≠1），且b₂+S₂=12，q=$\frac{{S}_{2}}{_{2}}$．
（1）求a_n與b_n；
（2）證明：$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$＜$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列以及等比數(shù)列列出方程求出公差與公比，然后求解通項公式．
（2）化簡通項公式利用裂項消項法，求解數(shù)列的和即可．

解答 解：（1）設(shè){a_n}的公差為d，因為$\left\{\begin{array}{l}{_{2}+{S}_{2}=12}\\{q=\frac{{S}_{2}}{_{2}}}\end{array}\right.$
所以$\left\{\begin{array}{l}{q+6+d=12}\\{q=\frac{6+d}{q}}\end{array}\right.$解得q=3或q=-4（舍），d=3．
故a_n=3+3（n-1）=3n，b_n=3^n-1
（2）證明：因為S_n=$\frac{n（3+3n）}{2}$
所以$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{n（3+3n）}$=$\frac{2}{3}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）．
故$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{3}$[（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）]=$\frac{2}{3}$（1-$\frac{1}{n+1}$）．
因為n≥1，所以0＜$\frac{1}{n+1}$，于是1-$\frac{1}{n+1}$＜1，
所以$\frac{2}{3}$（1-$\frac{1}{n+1}$）＜$\frac{2}{3}$，
即$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$＜$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查等差數(shù)列以及等比數(shù)列的應(yīng)用，數(shù)列求和以及數(shù)列與不等式的關(guān)系，考查計算能力．