Question

直線x=ky+3與雙曲線

x2

9

-

y2

4

=1只有一個(gè)公共點(diǎn)，則k的值有（　　）

• A、1個(gè)
• B、2個(gè)
• C、3個(gè)
• D、無(wú)數(shù)多個(gè)

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：計(jì)算題,分類討論,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：將直線x=ky+3代入雙曲線

x2

9

-

y2

4

=1，可化為（4k²-9）y²+24ky=0．分類討論：當(dāng)4k²-9=0時(shí)，可得k=±

3

2

，此時(shí)直線與雙曲線的漸近線平行，滿足題意；當(dāng)4k²-9≠0時(shí)，由直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，可得△=0，解出即可．

解答： 解：x=ky+3代入雙曲線

x2

9

-

y2

4

=1，可化為（4k²-9）y²+24ky=0．
①當(dāng)4k²-9=0時(shí)，可得k=±

3

2

，此時(shí)直線與雙曲線的漸近線平行，直線與雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，滿足題意；
②當(dāng)4k²-9≠0時(shí)，由直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，可得△=（24k）²-0=0，解得k=0．此時(shí)滿足條件．
綜上可得：k=±

3

2

，0．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與雙曲線的位置關(guān)系及其性質(zhì)、一元二次方程與△的關(guān)系、分類討論等基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法，屬于難題．