Question

已知橢圓C：（a＞b＞0）的離心率為，其左、右焦點分別是F₁、F₂，點P是坐標平面內(nèi)的一點，且|OP|=，（點O為坐標原點）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）直線y=x與橢圓C在第一象限交于A點，若橢圓C上兩點M、N使，λ∈（0，2）求橢圓的弦-3的長度的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）可設設P（x，y），由|OP|=⇒+=①，由⇒+-c²=②，=③，
①②③⇒橢圓C的方程為：+y²=1；
（Ⅱ）解法一：由得A（，），設直線MN的方程為y=kx+m，聯(lián)立方程組消去y得：（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0，再設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），利用韋達定理可得則x₁+x₂=-，x₁x₂=，結(jié)合得：是x₁+x₂=，x₁x₂=，m=，從而用弦長公式可求得|MN|的取值范圍；
解法二：由得A（，），設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則⇒x₁+x₂+3（y₁+y₂）•=0…①⇒x₁+x₂=λ，y₁+y₂=λ，代入①，
⇒k_MN=-，從而可得直線MN的方程為：y-=-（x-），代入橢圓方程得：4y²-2λy+λ²-1=0，
⇒y₁+y₂=，y₁•y₂=，⇒|MN|=|y₁-y₂|=•，由λ∈（0，2）⇒0＜|MN|＜10．
解答：解：（Ⅰ）設P（x，y），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），由|OP|=得：+=，…（1分）
由得：（-c-x，-y）-（c-x，-y）=，即+-c²=，…（2分）
∴c=，又因為=，
∴a²=3，b²=1 …（3分）
∴橢圓C的方程為：+y²=1；            …（4分）
（Ⅱ）解法一：由得A（，），
設直線MN的方程為y=kx+m，聯(lián)立方程組消去y得：（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0   …（5分）
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-，x₁x₂=，…（6分）
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=，
∵，
∴x₁+x₂=λ，y₁+y₂=λ，
∴得：k_MN=-，m=，
于是x₁+x₂=，x₁x₂=，…（8分）
∴|MN|=|x₁-x₂|==．…（10分）
又λ∈（0，2），
∴，
∴0＜4-3m²＜4，
∴0＜|MN|＜10…（12分）
解法二：由得A（，），設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則，
∴x₁+x₂+3（y₁+y₂）•=0…①…（5分）
∵，
∴x₁+x₂=λ，y₁+y₂=λ，
代入①得：k_MN=-，…（6分）
設直線MN的方程為：y-=-（x-），即x=-y+，…（7分）
代入橢圓方程得：4y²-2λy+λ²-1=0，
∴y₁+y₂=，y₁•y₂=，
∴|MN|=|y₁-y₂|=•，…（10分）
∵λ∈（0，2）
∴0＜|MN|＜10…（12分）
點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，著重考查方程思想與轉(zhuǎn)化思想，注重考查綜合分析與應用的能力，特別是（Ⅱ）中解法二中點差法的靈活應用，屬于難題．