Question

10．如圖，三棱錐P-ABC中，△ABC是正三角形，PC⊥平面ABC，PC=AC，E為AC中點，EF⊥AP，垂足為F．
（Ⅰ）求證：AP⊥FB；
（Ⅱ）求二面角A-FC-B的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結BE，推導出BE⊥AC，PC⊥BE，從而BE⊥AP，又∵EF⊥AP，從而AP⊥面BEF，由此能證明AP⊥FB．
（Ⅱ）以E為坐標原點，分別以$\overrightarrow{EB}$，$\overrightarrow{EC}$的方向為x軸，y軸正方向，建立空間直角坐標系E-xyz．利用向量法能求出二面角A-FC-B的平面角的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）連結BE，由題意得BE⊥AC，又∵PC⊥平面ABC，
∴PC⊥BE，∴BE⊥面PAC，∴BE⊥AP，
又∵EF⊥AP，∴AP⊥面BEF，
∵FB?平面BEF，∴AP⊥FB．…（6分）
（Ⅱ）如圖，以E為坐標原點，分別以$\overrightarrow{EB}$，$\overrightarrow{EC}$的方向為x軸，y軸正方向，
建立空間直角坐標系E-xyz．
由題意得A（0，-1，0），$F（{0，-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}）$，$B（{\sqrt{3}，0，0}）$，C（0，1，0），
則$\overrightarrow{BC}=（{-\sqrt{3}，1，0}）$，$\overrightarrow{FB}$=（$\sqrt{3}，\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}$），
設平面FBC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{FB}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}-\sqrt{3}x+y=0\\ \sqrt{3}x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}z=0\end{array}\right.$，
令$y=\sqrt{3}$，則x=1，$z=3\sqrt{3}$，于是$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}，3\sqrt{3}$），
平面AFC的法向量為$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{EB}$=（1，0，0），
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{p}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{p}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{p}|}$=$\frac{\sqrt{31}}{31}$，
∴二面角A-FC-B的平面角的余弦值是$\frac{{\sqrt{31}}}{31}$．…（12分）

點評 本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．