Question

5．在△ABC中，∠ACB=60°，BC＞1，AC=AB+$\frac{1}{2}$，當(dāng)△ABC的周長(zhǎng)最短時(shí)，BC的長(zhǎng)是$\frac{\sqrt{2}}{2}$+1．

Answer 1

分析 設(shè)A，B，C所對(duì)的邊a，b，c，則根據(jù)余弦定理可得a²+b²+c²=2abcosC，以及b=c+$\frac{1}{2}$可得c的長(zhǎng)，再利用均值不等式即可求出答案．

解答 解：設(shè)A，B，C所對(duì)的邊a，b，c，則根據(jù)余弦定理可得a²+b²-c²=2abcosC，
將b=c+$\frac{1}{2}$代入上式，可得a²+c+$\frac{1}{4}$=ac+$\frac{a}{2}$，化簡(jiǎn)可得c=$\frac{4{a}^{2}-2a+1}{4（a-1）}$，
所以△ABC的周長(zhǎng)l=a+b+c=$\frac{4{a}^{2}-2a+1}{4（a-1）}$+$\frac{1}{2}$+a，
化簡(jiǎn)可得l=3（a-1）+$\frac{3}{2（a-1）}$+$\frac{9}{2}$，
因?yàn)閍＞1，
所以由均值不等式可得3（a-1）=$\frac{3}{2（a-1）}$時(shí)，
即6（a-1）²=3，解得a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$+1時(shí)，△ABC的周長(zhǎng)最短，
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$+1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了余弦定理和均值不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．