已知f(n)=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
(n∈N*)，g(n)=2(
n+1
-1)(n∈N*)．
（1）當n=1，2，3時，分別比較f（n）與g（n）的大�。ㄖ苯咏o出結(jié)論）；
（2）由（1）猜想f（n）與g（n）的大小關系，并證明你的結(jié)論．
（1）當n=1時，f（1）=1，g(1)=2(
2
-1)，f（1）＞g（1），
當n=2時，f(2)=1+
1
2
，g(2)=2(
3
-1)，f（2）＞g（2），
當n=3時，f(3)=1+
1
2
+
1
3
，g（3）=2，f（3）＞g（3）．
（2）猜想：f（n）＞g（n）（n∈N*），即1+
1
2
+
1
3
++
1
n
＞2(
n+1
-1) (n∈N*)．
下面用數(shù)學歸納法證明：①當n=1時，上面已證．
②假設當n=k時，猜想成立，即1+
1
2
+
1
3
++
1
k
＞2(
k+1
-1)
則當n=k+1時，f(k+1)=1+
1
2
+
1
3
++
1
k
+
1
k+1
＞2(
k+1
-1)+
1
k+1
=2
k+1
+
1
k+1
-2；
而g(k+1)=2(
k+2
-1)=2
k+2
-2，下面轉(zhuǎn)化為證明：2
k+1
+
1
k+1
＞2
k+2

只要證：2(k+1)+1=2k+3＞2
(k+2)(k+1)
，需證：（2k+3）2＞4（k+2）（k+1），
即證：4k2+12k+9＞4k2+12k+8，此式顯然成立．所以，當n=k+1時猜想也成立．
綜上可知：對n∈N*，猜想都成立，
即1+
1
2
+
1
3
++
1
n
＞2(
n+1
-1) (n∈N*)成立．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)y=f（x）的定義域為（0，+∞），且對任意的正實數(shù)x，y，均有f（xy）=f（x）+f（y）恒成立．已知f（2）=1，且當x＞1時，f（x）＞0．
（1）求f(
1
2
)的值，試判斷y=f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，并加以證明；
（2）一個各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}，它的前n項和是Sn，若a1=3，且f（Sn）=f（an）+f（an+1）-1（n≥2，n∈N*），求數(shù)列{an}的通項公式；
（3）在（2）的條件下，是否存在實數(shù)M，使2n•a1•a2…an≥M•
2n+3
•(2a1-1)•(2a2-1)…(2an-1)對于一切正整數(shù)n均成立？若存在，求出M的范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在自然數(shù)集N上定義一個函數(shù)y=f（x），已知f（1）+f（2）=5．當x為奇數(shù)時，f（x+1）-f（x）=1，當x為偶數(shù)時f（x+1）-f（x）=3．
（1）求證：f（1），f（3），f（5），…，f（2n-1）（n∈N+）成等差數(shù)列．
（2）求f（x）的解析式．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2007•嘉定區(qū)一模）已知f(n)=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
3n-1
(n∈N)，則f（n+1）-f（n）=（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f(n)=log2(1+
1n
)(n∈N+)，對正整數(shù)k，如果f（n）滿足：f（1）+f（2）+f（3）+…+f（k+1）為整數(shù)，則稱k為“好數(shù)”，那么區(qū)間[1，129]內(nèi)所有“好數(shù)”的和S=
240
240
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)y=f（x）的定義域為（0，+∞），且對任意的正實數(shù)x，y，均有f（xy）=f（x）+f（y）恒成立．已知f（2）=1，且當x＞1時，f（x）＞0．
（1）求f(
12
)的值，試判斷y=f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，并加以證明；
（2）一個各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}，它的前n項和是Sn，若a1=3，且對任意的正整數(shù)n，均滿足f（Sn）=f（an）+f（an+1）-1，求數(shù)列{an}的通項公式．

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