Question

2．已知實數(shù)x，y滿足x＞0，y＞0，x+2y=3，則$\frac{3x+y}{xy}$的最小值為$\frac{7+2\sqrt{6}}{3}$，x²+4y²+xy的最小值為$\frac{45}{8}$．

Answer 1

分析 根據(jù)基本不等式進行轉(zhuǎn)化求解得$\frac{3x+y}{xy}$的最小值，利用換元法轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)，利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)即可求x²+4y²+xy的最小值．

解答 解：由x+2y=3得$\frac{x}{3}$+$\frac{2y}{3}$=1，
則$\frac{3x+y}{xy}$=$\frac{3}{y}$+$\frac{1}{x}$=（$\frac{3}{y}$+$\frac{1}{x}$）×1=（$\frac{3}{y}$+$\frac{1}{x}$）（$\frac{x}{3}$+$\frac{2y}{3}$）=2+$\frac{1}{3}$+$\frac{x}{y}$+$\frac{2y}{3x}$≥$\frac{7}{3}$+2$\sqrt{\frac{x}{y}•\frac{2y}{3x}}$=$\frac{7}{3}$+$\frac{2\sqrt{6}}{3}$=$\frac{7+2\sqrt{6}}{3}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{x}{y}$=$\frac{2y}{3x}$，即3x²=2y²取等號，即$\frac{3x+y}{xy}$的最小值為$\frac{7+2\sqrt{6}}{3}$．
由x+2y=3得x=3-2y，由x=3-2y＞0得0＜y＜$\frac{3}{2}$，
則x²+4y²+xy=（3-2y）²+4y²+（3-2y）y=6y²-9y+9=6（y-$\frac{3}{4}$）²+$\frac{45}{8}$，
即當(dāng)y=$\frac{3}{4}$時，x²+4y²+xy的最小值為$\frac{45}{8}$，
故答案為：$\frac{7+2\sqrt{6}}{3}$，$\frac{45}{8}$．

點評 本題主要考查函數(shù)最值的求解，利用基本不等式中1的代換以及換元法結(jié)合一元二次函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強．