如圖,在直角三角形ABC中,AD是斜邊BC上的高,有很多大家熟悉的性質(zhì),例如“AB⊥AC”,勾股定理“|AB|2+|AC|2=|BC|2”和“=+”等,由此聯(lián)想,在三棱錐O-ABC中,若三條側(cè)棱OA,OB,OC兩兩互相垂直,可以推出那些結(jié)論?至少寫出兩個(gè)結(jié)論。(本題出一個(gè)正確的結(jié)論并給出必要的推理證明給7分,滿分不超過14分)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【答案】

 解:(以下僅供參考,不同結(jié)論請(qǐng)酌情給分。每個(gè)正確結(jié)論給2分,證明給5分)  可以得出有以下結(jié)論:

(Ⅰ)三個(gè)側(cè)面OAB、OAC、OBC兩兩互相垂直(或OA⊥BC、OB⊥AC、OC⊥AB)

(Ⅱ)=++(H為ΔABC的重心)

(Ⅲ)++=

以下給出具體的證明:

(1)證明:∵OA⊥OC,OB⊥OC ∴OC⊥平面OAB

   ∴平面OAC⊥平面OAB  平面OBC⊥平面OAB 同理可證平面OBC⊥平面OAC

(2)證明:如圖二   連接AH并延長(zhǎng)AH交BC于D連接OD 

∵OA⊥面OBC∴OA⊥OD

在RtΔABC中  ∵OH⊥OD  ∴OH·AD=AO·OD

 ∴OH2·AD2=AO2·OD2

又∵AD2= OA2+ OD2   ∴=+

 ∵AD⊥BC,由三垂線定理得:BC⊥OD

∴在RtΔOBC中  OD2 ·BC2 =BO2·CO2  

∴OD2=  又∵BC2= BO2+CO2

=+ ②  由①②得:=++

(Ⅳ) 證明:如圖二(延用(Ⅸ)中的字母a,b,c)∵H為垂心  ∴AD⊥BC

又∵OA、OB、OC兩兩垂直  ∴SΔOAB=ab   SΔOBC=bc  SΔOAC=ac  

SΔABC= BC·AD

++=( a2 b2+ b2 c2+ a2 c2)= a2(b2+ c2)+b2 c2…………①

又∵在RtΔBOC中,OD⊥BC  ∴OB2·OC2= b2 c2=OD2·BC2=OD2·(b2+ c2)………②

∴②代入①得:++=(b2+ c2)·AD2=BC2·AD2=

 

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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在直角三角形ABC中,∠BAC=90°,D為BC的中點(diǎn),|AB|=2
3
|AC|=
1
2
,以A、B為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)C.
(I)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,求橢圓的方程;
(II)是否存在不平行于AB的直線l與(I)中橢圓交于不同兩點(diǎn)M、N,使(
DM
+
DN
)•
MN
=0
?若存在,求出直線l斜率的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在直角三角形ABC中,斜邊AB=4.設(shè)角A=θ,△ABC的面積為S
(1)試用θ表示S,并求S的最大值;
(2)計(jì)算
AB
AC
+
BC
BA
的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖:在直角三角形ABC中,已知AB=a,∠ACB=30°,∠B=90°,D為AC的中點(diǎn),E為BD的中點(diǎn),AE的延長(zhǎng)線交BC于F,將△ABD沿BD折起,二面角A′-BD-C的大小記為θ.

(1)求證:平面A′EF⊥平面BCD;
(2)當(dāng)A′B⊥CD時(shí),求sinθ的值;
(3)在(2)的條件下,求點(diǎn)C到平面A′BD的距離.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•貴州模擬)如圖,在直角三角形ABC的斜邊AB上有一點(diǎn)P,它到這個(gè)三角形兩條直角邊的距離分別為4和3,則△ABC面積的最小值是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,在直角三角形ABC中,∠BAC=90°,D為BC的中點(diǎn),數(shù)學(xué)公式,數(shù)學(xué)公式,以A、B為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)C.
(I)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,求橢圓的方程;
(II)是否存在不平行于AB的直線l與(I)中橢圓交于不同兩點(diǎn)M、N,使數(shù)學(xué)公式?若存在,求出直線l斜率的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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