Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC是邊長為2的等邊三角形，AA₁⊥平面ABC，D，E分別是CC₁，AB的中點(diǎn)．
（1）求證：CE∥平面A₁BD；
（2）若H為A₁B上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)CH與平面A₁AB所成最大角的正切值為時(shí)，求平面A₁BD與平面ABC所成二面角（銳角）的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）通過補(bǔ)形，延長延長A₁D交AC的延長線于點(diǎn)F，連接BF，從而可證明CE∥BF，然后由線面平行的判定定理得證；
（2）由已知找出C點(diǎn)在平面A₁AB上的射影CE，CE為定值，要使直線CH與平面A₁AB所成最大角的正切值為，則點(diǎn)H到E點(diǎn)的距離應(yīng)最小，由此得到H的位置，進(jìn)一步求出EH的長度，則在直角三角EHB中可得到BH的長度，利用已知條件證出BF⊥平面A₁AB，從而得到∠EBH為平面A₁BD與平面ABC所成的二面角，在直角三角形EHB中求其余弦值．
本題也可以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量解決．
解答：法一、
（1）證明：如圖，

延長A₁D交AC的延長線于點(diǎn)F，連接BF．
∵CD∥AA₁，且CD=AA₁，
∴C為AF的中點(diǎn)．
∵E為AB的中點(diǎn)，
∴CE∥BF．
∵BF?平面A₁BD，CE?平面A₁BD，
∴CE∥平面A₁BD．
（2）解：∵AA₁⊥平面ABC，CE?平面ABC，
∴AA₁⊥CE．
∵△ABC是邊長為2的等邊三角形，E是AB的中點(diǎn)，
∴CE⊥AB，．
∵AB?平面A₁AB，AA₁?平面A₁AB，AB∩AA₁=A，
∴CE⊥平面A₁AB．
∴∠EHC為CH與平面A₁AB所成的角．
∵，
在Rt△CEH中，tan，
∴當(dāng)EH最短時(shí)，tan∠EHC的值最大，則∠EHC最大．
∴當(dāng)EH⊥A₁B時(shí)，∠EHC最大．此時(shí)，tan=．
∴．
∵CE∥BF，CE⊥平面A₁AB，
∴BF⊥平面A₁AB．
∵AB?平面A₁AB，A₁B?平面A₁AB，
∴BF⊥AB，BF⊥A₁B．
∴∠ABA₁為平面A₁BD與平面ABC所成二面角（銳角）．
在Rt△EHB中，=，cos∠ABA₁=．
∴平面A₁BD與平面ABC所成二面角（銳角）的余弦值為．
法二、
（1）證明：如圖，

取A₁B的中點(diǎn)F，連接DF、EF．
∵E為AB的中點(diǎn)，
∴EF∥AA₁，且．
∵CD∥AA₁，且CD=AA₁，
∴EF∥CD，EF=CD．
∴四邊形EFDC是平行四邊形．
∴CE∥DF．
∵DF?平面A₁BD，CE?平面A₁BD，
∴CE∥平面A₁BD．
（2）解：∵AA₁⊥平面ABC，CE?平面ABC，
∴AA₁⊥CE．
∵△ABC是邊長為2的等邊三角形，E是AB的中點(diǎn)，
∴CE⊥AB，．
∵AB?平面A₁AB，AA₁?平面A₁AB，AB∩AA₁=A，
∴CE⊥平面A₁AB．
∴∠EHC為CH與平面A₁AB所成的角．
∵，
在Rt△CEH中，tan，
∴當(dāng)EH最短時(shí)，tan∠EHC的值最大，則∠EHC最大．
∴當(dāng)EH⊥A₁B時(shí)，∠EHC最大．此時(shí)，tan=．
∴．
在Rt△EHB中，．
∵Rt△EHB～Rt△A₁AB，
∴，即．
∴AA₁=4．
以A為原點(diǎn)，與AC垂直的直線為x軸，AC所在的直線為y軸，AA₁所在的直線為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz．
則A（0，0，0），A₁（0，0，4），B，D（0，2，2）．
∴=（0，0，4），=，=（0，2，-2）．
設(shè)平面A₁BD的法向量為n=（x，y，z），
由，，
得，令y=1，則．
∴平面A₁BD的一個(gè)法向量為n=．
∵AA₁⊥平面ABC，∴=（0，0，4）是平面ABC的一個(gè)法向量．
∴cos=．
∴平面A₁BD與平面ABC所成二面角（銳角）的余弦值為．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查空間線面位置關(guān)系、直線與平面所成的角、二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象、推理論證、抽象概括和運(yùn)算求解能力，以及化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法．是中檔題．