Question

雙曲線的中心為原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，兩條漸近線分別為l₁，l₂，經(jīng)過右焦點(diǎn)F垂直于l₁的直線分別交l₁，l₂于A，B兩點(diǎn)．已知成等差數(shù)列，且與同向，
(Ⅰ)求雙曲線的離心率；
(Ⅱ)設(shè)AB被雙曲線所截得的線段的長(zhǎng)為4，求雙曲線的方程。

Answer 1

解：(Ⅰ)設(shè)雙曲線方程為，
右焦點(diǎn)為F(c，0)(c＞0)，則c²=a²+b²，
不妨設(shè)l₁：bx-ay=0，l₂：bx+ay=0，
則，
因?yàn)?IMG style="FILTER: " align=middle border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20110805/20110805171139001.gif">，且，
所以，
于是得，
又與同向，故，
所以，
解得或（舍去），
因此，
雙曲線的離心率為。
(Ⅱ)由a=2b知，雙曲線的方程可化為x²-4y²=4b²， ①
由l₁的斜率為知，直線AB的方程為，②
將②代入①并化簡(jiǎn)，得，
設(shè)AB與雙曲線的兩交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x₁，y₁)，(x₂，y₂)，
則，③
AB被雙曲線所截得的線段長(zhǎng)
，④
將③代入④，并化簡(jiǎn)得l=，
而由已知l=4，故b=3，a=6，
所以雙曲線的方程為。