Question

雙曲線的中心為原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，兩條漸近線分別為l₁，l₂，經(jīng)過右焦點(diǎn)F垂直l₁的直線分別交l₁，l₂于A，B兩點(diǎn)，己知|

OA

|，|

AB

|，|

OB

|成等差數(shù)列，且

BF

與

FA

同向，則雙曲線的離心率

 

．

Answer 1

分析：由2個(gè)向量同向，得到漸近線的夾角范圍，求出離心率的范圍，再用勾股定理得出直角三角形的2個(gè)直角邊的長度比，聯(lián)想到漸近線的夾角，求出漸近線的斜率，進(jìn)而求出離心率．

解答：解：設(shè)雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，c2=a2+b2由

BF

，

FA

同向，
∴漸近線的傾斜角為（0，

π

4

），
∴漸近線斜率為：k1=

b

a

＜1∴

b2

a2

=

c2-a2

a2

=e2-1＜1，∴1＜e2＜2
∴|AB|²=（|OB|-|OA|）（|OB|+|OA|）=（|OB|-|OA|）2|AB|，
∴|AB|=2(|OB|-|OA|)∴

|OB|-|OA|= 1 2 |AB |OA|+|OB|=2|AB

∴|OA|=

3

4

|AB|∴|OA|2=

9

16

|AB|2
可得：

|AB|

|OA|

=

4

3

，而在直角三角形OAB中，
注意到三角形OAF也為直角三角形，即tan∠AOB=

4

3

而由對稱性可知：OA的斜率為k=tan（

π

2

-

1

2

∠AOB）
∴

2k

1-k2

=

4

3

，∴2k²+3k-2=0，∴k=

1

2

(k=-2舍去)；
∴

b

a

=

1

2

∴

b2

a2

=

c2-a2

a2

=

1

4

，∴e2=

5

4

∴e=

5

2

故答案為

5

2

．

點(diǎn)評：本題考查了雙曲線的簡單性質(zhì)以及等差數(shù)列的性質(zhì)，做到邊做邊看，從而發(fā)現(xiàn)題中的巧妙，如據(jù)

|AB|

|OA|

=

4

3

，聯(lián)想到對應(yīng)的是漸近線的夾角的正切值，是解題的關(guān)鍵．