Question

在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c．設(shè)

m

=（bcosC，-1），

n

=（（c-3a）cosB，1），且

m

∥

n

．
（1）求cosB值；
（2）若

2cos2 A 2 -sinA-1

2 sin(A+ π 4 )

=-

1

3

求tanC．

Answer 1

分析：（1）首先利用向量平行得出bcosC+（c-3a）cosB=0并化簡(jiǎn)，再根據(jù)sin（B+C）=sinA，能夠得出sinA（1-3cosB）=0，進(jìn)而得出cosB=

1

3

；
（2）利用誘導(dǎo)公式和和差公式化簡(jiǎn)已知式子，能夠得出tanA=2，tanB=2

2

，然后由正切的和差公式求出tanC．

解答：解：（1）∵

m

∥

n

∴bcosC+（c-3a）cosB=0，（2分）
即sinBcosC+sinCcosB-3sinAcosB=0（3分）
∴sin（B+C）-3sinAcosB=0，又sin（B+C）=sinA
∴sinA（1-3cosB）=0（5分）
∵sinA≠0，∴cosB=

1

3

，（6分）
（2）∵

2cos2 A 2 -sinA-1

2 sin(A+ π 4 )

=

cosA-sinA

cosA+sinA

=

1-tanA

1+tanA

=-

1

3

（8分）
∴tanA=2，tanB=2

2

（9分）
∴tanC=-tan（A+B）=-

tanA+tanB

1-tanAtanB

=

2+2 2

4 2 -1

=

10 2 +18

31

（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行向量的坐標(biāo)表示以及三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和和差公式，解題過(guò)程中要靈活運(yùn)用三角形的內(nèi)角和等于180°，屬于基礎(chǔ)題．