Question

1．數列{a_n}和{b_n}都是首項為1的等差數列，設S_n是數列{a_n}的前n項和，且由S_n=b_n²．
（1）求數列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）求數列{${\frac{2}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right.$}的前n項和A_n．

Answer 1

分析 （1）根據等差數列的定義和前n項和公式，得到關于a₁，d的方程組解得即可，
（2）根據裂項求和即可求出數列前n項和．

解答 解：（1）設數列{a_n}，{b_n}的公差分別為d₁，d₂，依題意得：$\left\{\begin{array}{l}{a_1}+{a_2}={b_2}^2\\{a_1}+{a_2}+{a_3}={b_3}^2\end{array}\right.$，
所以$\left\{\begin{array}{l}1+1+{d_1}={（1+{d_2}）^2}\\ 1+1+{d_1}+1+2{d_1}={（1+2{d_2}）^2}\end{array}\right.$，
解之得$\left\{\begin{array}{l}{d_1}=2\\{d_2}=1\end{array}\right.$
所以a_n=2n-1，b_n=n，
所以${S_n}=\frac{{n（1+{a_n}）}}{2}={n^2}={（{b_n}）^2}$滿足題意．
（2）因為$\frac{2}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{2}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$，
所以${A_n}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$=$1-\frac{1}{2n+1}=\frac{2n}{2n+1}$．

點評 本題考查了等差數列項公式，考查數列的前n項和以及裂項求和，是一道中檔題．