已知拋物線C：()的焦點F(1,0)，O為坐標原點，A，B是拋物線C上異于O的兩點.

（Ⅰ）求拋物線C的方程；

（Ⅱ）若直線OA，OB的斜率之積為,求證：直線AB過軸上一定點.


解：

（Ⅰ）因為拋物線的焦點坐標為，所以.

得到拋物線方程為.

（Ⅱ）①當直線AB的斜率不存在時設A

因為直線的斜率之積為,所以化簡得.

所以,此時直線AB的方程為.

②當直線AB的斜率存在時設直線的方程為

聯(lián)立方程化簡得.

根據(jù)韋達定理得到,因為直線的斜率之積為,

所以得到即.

得到,

化簡得到（舍）或.

又因為,所以.

上所述，直線AB過定點（8，0）.


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