Question

（09年長沙一中一模理）（13分）已知函數(shù)f (x) = lnx，g (x) =(a＞0)，設(shè)F(x) = f (x) + g (x)．

（1）求函數(shù)F(x)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若點(diǎn)為函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P處的切線的斜率k≤恒成立，求實(shí)數(shù)a的最小值；

（3）是否存在實(shí)數(shù)m，使得函數(shù)y = g() + m 1的圖象與函數(shù)y = f (1 + x²)的圖象恰有四個(gè)不同的交點(diǎn)？若存在，求出實(shí)數(shù)m的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

解析：（1）F(x) = f (x) + g (x) = lnx +(x＞0)，F′(x) =．

∵a＞0，由F′(x)＞0x∈(a，+∞)，∴F(x)在[a，+∞)上單調(diào)遞增．

由F′(x)＜.0x∈(0，a)，∴F(x)在(0，a]上單調(diào)遞減．

∴F(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，a]，單調(diào)遞增區(qū)間為[a，+∞)．   ……3分

（2）F′(x) =，k = F′(x₀) =≤(0＜x₀≤3)

恒成立，

當(dāng)x₀ = 1時(shí)，取得最大值．

∴a≥，∴a_min =．                                   ……6分

（3）若y = g+ m 1 =x² + m 的圖象與y = f (1 + x²) = ln(x² +1)的圖象恰有四個(gè)不同的交點(diǎn)，即有四個(gè)不同的根，亦即m = ln(x² + 1) x² +有四個(gè)不同的根．

令G(x) = ln(x² + 1) ，則G′(x) = x =

當(dāng)x變化時(shí)，G′(x)、G (x)的變化情況如下表：

x	(∞，1)	(1，0)	(0，1)	(1，+∞)
G′(x)的符號(hào)	+		+
G (x)的單調(diào)性	增	減	增	減

……10分

由表格知：G (x)_極小值 = G (0) =，G (x)_極大值 = G (1) = G (1) = ln2＞0，       ……11分

畫出草圖和驗(yàn)證G(2) = G(2) = ln5 2 +＜可知，當(dāng)m∈(，ln2)時(shí)，y = G (x)與y = m恰有四個(gè)不同的交點(diǎn)．

∴當(dāng)m∈(，ln2)時(shí)，y =+ m 1的圖象與y = f (1 + x²)的圖象恰有四個(gè)不同的交點(diǎn)．                                                                  ……13分