Question

設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦點．
（1）設(shè)橢圓C上的點A(1，

3

2

)到兩焦點的距離之和為4，求橢圓C的方程；
（2）設(shè)P是（1）中橢圓上的一點，∠F₁PF₂=60°求△F₁PF₂的面積．

Answer 1

分析：（1）依題意，易求a=2，b²=3，從而可得橢圓C的方程；
（2）△PF₁F₂中，令|PF₁|=m，|PF₂|=n，∠F₁PF₂=60°，易知m+n=2a=4，利用余弦定理可求得mn=4，從而可求得S△PF1F2．

解答：解：（1）依題意得：2a=4，則a=2，
又點A（1，

3

2

）在橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1上，則

1

4

+

9

4b2

=1，
解得b²=3，
∴所求橢圓C的方程為：

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）∵c²=a²-b²=4-3=1，
∴c=1，
而|F₁F₂|=2c=2，
令|PF₁|=m，|PF₂|=n，則m+n=2a=4，
在△PF₁F₂中∠F₁PF₂=60°，由余弦定理得：(|F1F2|)2=m²+n²-2mncos60°，
即m²+n²-2mncos60°=4，
即（m+n）²-3mn=4，
解得mn=4，
∴S△PF1F2=

1

2

mnsin60°=

3

．

點評：本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，著重考查求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與余弦定理與三角形面積公式的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．