拋物線的頂點在原點，焦點在x軸的正半軸上，直線x+y-1=0與拋物線相交于A、B兩點，且|AB|=
8
6
11
．
（1）求拋物線的方程；
（2）在x軸上是否存在一點C，使△ABC為正三角形？若存在，求出C點的坐標；若不存在，請說明理由．
（1）設所求拋物線的方程為y2=2px（p＞0），
由
y2=2px
x+y-1=0
消去y，
得x2-2（1+p）x+1=0．
設A（x1，y1），B（x2，y2），
則x1+x2=2（1+p），
x1•x2=1．∵|AB|=
8
6
11
，
∴
(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]
=
8
6
11
，
∴121p2+242p-48=0，
∴p=
2
11
或-
24
11
（舍）．
∴拋物線的方程為y2=
4
11
x．

（2）設AB的中點為D，則D(
13
11
，-
2
11
)．
假設x軸上存在滿足條件的點C（x0，0），∵△ABC為正三角形，
∴CD⊥AB，∴x0=
15
11
．
∴C（
15
11
，0），∴|CD|=
2
2
11
．
又∵|CD|=
3
2
|AB|=
12
2
11
，
故矛盾，∴x軸上不存在點C，使△ABC為正三角形．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

過橢圓
x2
6
+
y2
5
=1內的一點P（2，-1）的弦，恰好被點P平分，則這條弦所在直線方程（　　）
A．y=
5
3
x-
5
6
B．y=
5
3
x-
13
3
C．y=-
5
3
x+
5
6
D．y=
5
3
x+
11
6

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（B題）已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，長軸長為2
3
，離心率為
3
3
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設點A（-1，1），過原點O的直線交橢圓于點B，C，求△ABC面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線y2=-x與直線y=k（x+1）相交于A、B兩點．
（1）求證：OA⊥OB；
（2）當△OAB的面積等于
10
時，求k的值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的離心率e=
2
且點P(3，
7
)在雙曲線C上．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）記O為坐標原點，過點Q（0，2）的直線l與雙曲線C相交于不同的兩點E、F，若△OEF的面積為2
2
，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C1：
x2
4
+
y2
3
=1，拋物線C2：（y-m）2=2px（p＞0），且C1、C2的公共弦AB過橢圓C1的右焦點．
（Ⅰ）當AB⊥x軸時，求m、p的值，并判斷拋物線C2的焦點是否在直線AB上；
（Ⅱ）是否存在m、p的值，使拋物線C2的焦點恰在直線AB上？若存在，求出符合條件的m、p的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
2
，與雙曲線x2-y2=1的漸近線有四個交點，以這四個交點為頂點的四邊形的面積為16，則橢圓C的方程為（　　）
A．
x2
8
+
y2
2
=1		B．
x2
12
+
y2
6
=1		C．
x2
16
+
y2
4
=1		D．
x2
20
+
y2
5
=1

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)．
（1）若橢圓的長軸長為4，離心率為
3
2
，求橢圓的標準方程；
（2）在（1）的條件下，設過定點M（0，2）的直線l與橢圓C交于不同的兩點A、B，且∠AOB為銳角（其中O為坐標原點），求直線l的斜率k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

如圖所示，是等腰三角形，是底邊延長線上一點，
且，，則腰長=        .

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